散度定理
高斯散度定理
散度定理，又稱為高斯散度定理、高斯公式、高斯－奧斯特羅格拉德斯基公式或高－奧公式，是指在向量分析中，一個把向量場通過曲面的流動（即通量）與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。它經常應用於矢量分析中。矢量場的散度在體積τ上的體積分等於矢量場在限定該體積的閉合曲面s上的面積分。
散度定理是指在向量分析中，一個把向量場通過曲面的流動（即通量）與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。更加精確地說，散度定理說明向量場穿過曲面的通量，等於散度在曲面圍起來的體積上的積分。直觀地，所有源點的和減去所有匯點的和，就是流出這區域的凈流量。
高斯公式在工程數學中是一個很重要的結果，特別是靜電學和流體力學。
在物理和工程中，散度定理通常運用在三維空間中。然而，它可以推廣到任意維數。在一維，它等價於微積分基本定理；在二維，它等價于格林公式。
這個定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。
設空間閉區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍起來的三維區域，函數 P( x, y, z)、 Q( x, y, z)、 R( x, y, z)在Ω上具有一階連續偏導數，則有
或
這裡Σ是Ω的邊界（boundary），cos α、cos β、cos γ是Σ在點( x, y, z)處的單位法向量的方向餘弦。
這兩個公式都叫做 高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於，其中n 是曲面 的向外單位法向量。
高斯公式用散度表示為：
其中Σ是空間閉區域Ω的邊界曲面，而 n是曲面Σ上的朝外的單位法向量。
令 V代表有一間單閉曲面 S為邊界的體積，f是定義在 V中和 S上連續可微的向量場。如果 dS是外法向向量面元，則
• 對於標量函數g和向量場F的積，應用高斯公式可得：
• 對於兩個向量場{\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} }的向量積，應用高斯公式可得：
• 對於標量函數f和非零常向量的積，應用高斯公式可得：
• 對於向量場F和非零常向量的向量積，應用高斯公式可得：
假設我們想要計算 ,其中一個單位球面，定義為 F是向量場：
直接計算這個積分是相當困難的，但我們可以用高斯公式來把它簡化：
其中W是單位球:
由於函數y和z是奇函數，我們有：
因此：
因為單位球W的體積是.
圖1.例題中向量場
二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內容完整，首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的 二階張量（詳見並矢張量或張量積）以及相關的概念和記號。在這裡，向量和向量場用 黑斜體字母表示，張量用 正黑體字母表示。
1)兩個向量 a和 b並排放在一起所形成的量 ab被稱為向量 a和 b的 並矢或 並矢張量。注意，一般來說.
2)ab=0的充分必要條件是 a=0或 b=0。
3)二階張量就是 有限個並矢的線性組合。
4)ab分別線性地依賴於 a和 b。
5)二階張量 T和向量 a的縮並 T*a以及 a*T對, T和 a都是線性的。
6)特別是，當 T=uv時，
所以，一般來說，。
定理：
設 V是三維歐幾里得空間中的一個有限區域，S是它的邊界曲面，是S的外法線方向上的單位向量， T是定義在 V的某個開鄰域上 的連續的二階張量場，是 T的轉置，則
