彈簧振子

彈簧振子

彈簧振子是一個不考慮摩擦阻力,不考慮彈簧的質量,不考慮振子的大小和形狀的理想化的物理模型。用來研究簡諧振動的規律。

基本信息


如圖所示是一個彈簧振子的模型,其中金屬桿光滑,輕質彈簧質量遠小於金屬小球的質量,故可忽略不計。
位置AA→ OOO→ BB
位移大小最大減小增大最大
速度大小增大最大減小
動能增大最大減小
勢能最大減小增大最大
總能不變不變不變不變不變
彈簧振子在一個周期內位移、速度與回復力變化的示意圖。
彈簧振子在一個周期內位移、速度與回復力變化的示意圖。
單擺也是一種理想化的模型,它的結構是一根輕質無彈性的細線一端懸掛(即細線的伸縮不計),另一端下系一小球,當小球的直徑遠小於線的長度,且小球的質量遠大於細線時,在不計空氣阻力的情況下,這樣的裝置叫單擺。當單擺的擺角小於等於5°,且在豎直平面內做往複運動時,所做的運動也是簡諧振動。小球是一個做簡諧振動的振子,意義和彈簧振子相同。
單擺在一個周期內位移、速度與加速度變化的示意圖。
單擺在一個周期內位移、速度與加速度變化的示意圖。
彈簧振子的周期為。
其中k表示彈簧的勁度係數
m表示彈簧振子(小球)的質量。

推導過程


並不嚴格的方法
由簡諧振動位移公式
對時間t求一次導數:
再對時間t求一次導數:
再考慮簡諧振動的力的公式
比較(1)、(2)、(3)三式(代入)
整理得
開方得ω=√(k/m)
用牛頓力學推導彈簧振子運動方程
把坐標原點選在彈簧原長處,x軸沿彈簧方向,由牛頓第二定律
在i方向投影后得到簡單的標量微分方程
這個微分方程的通解是
我們就從理論上得出了位移公式,相比在“並不嚴格的方法”中直接給出的位移公式,是不是更加有說服力?
簡諧運動示意圖
簡諧運動示意圖
從三角函數的知識可知
用拉格朗日方法推導彈簧振子運動方程
現在用分析力學的方法求解運動方程
先寫出拉格朗日函數
把拉格朗日函數代入拉格朗日方程
即得