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單擺

物理學概念

單擺是能夠產生往複擺動的一種裝置,將無重細桿或不可伸長的細柔繩一端懸於重力場內一定點,另一端固結一個重小球,就構成單擺。若小球只限於鉛直平面內擺動,則為平面單擺,若小球擺動不限於鉛直平面,則為球面單擺。

單擺運動的近似周期公式為:T=2π√(L/g)。其中,L為擺長,g為當地的重力加速度。

定義


周期
在非常小的振幅(角度)下,單擺做簡諧運動的周期跟擺長的平方根成正比,跟重力加速度的平方根成反比,跟振幅、擺球的質量無關。
公式
單擺是一種理想的物理模型,它由理想化的擺球和擺線組成.擺線由質量不計、不可伸縮的細線提供;擺球密度較大,而且球的半徑比擺線的長度小得多,這樣才可以將擺球看做質點,由擺線和擺球構成單擺.在滿足偏角小於10°的條件下,單擺的周期為
單擺周期
單擺周期
從公式中可看出,單擺周期與振幅和擺球質量無關.從受力角度分析,單擺的回復力是重力沿圓弧切線方向並且指向平衡位置的分力,偏角越大,回復力越大,加速度(gsinθ )越大,在相等時間內走過的弧長也越大,所以周期與振幅、質量無關,只與擺長l和重力加速度g有關.在有些振動系統中l不一定是繩長,g也不一定為9.8m/,因此出現了等效擺長和等效重力加速度的問題.
物理上有些問題與單擺類似,經過一些等效可以套用單擺的周期公式,這類問題稱為“等效單擺”.等效單擺在生活中比較常見.除等效單擺外,單擺模型在其他問題中也有應用.
說明
質點振動系統的一種,是最簡單的擺。繞一個懸點來回擺動的物體,都稱為擺,但其周期一般和物體的形狀、大小及密度的分佈有關。但若把尺寸很小的質塊懸於一端固定的長度為l且不能伸長的細繩上,把質塊拉離平衡位置,使細繩和過懸點鉛垂線所 成角度小於10°,放手后質塊往複振動,可視為質點的振動,其周期T只和長度l和當地的重力加速度g有關,即T和質塊的質量 、形狀和振幅的大小都無關係,其運動狀態可用簡諧振動公式表示,稱為單擺。如果振動的角度大於10°,則振動的周期將隨振幅的增加而變大,就不成為單擺了。如擺球的尺寸相當大,繩的質量不能忽略,就成為復擺,周期就和擺球的尺寸有關了。

動力學方程


牛頓力學,單擺的運動可作如下描述。
首先我們可以得到,重力對單擺的力矩為
其中m為質量,g是重力加速度,l是擺長,θ是單擺與豎直方向的夾角,注意,θ是矢量,這裡取它在正方向上的投影。
我們希望得到擺角θ的關於時間的函數,來描述單擺運動。由角動量定理我們知道,
其中 是單擺的轉動慣量, 是角加速度。
於是化簡得到
單擺
單擺

小角近似周期


我們知道(1)式是一個非線性微分方程。所以嚴格地說上面的(1)式描述的單擺的運動並不是簡諧運動。
不過,在θ比較小時,近似地有sin θ ≈ θ。(即 。)因而此時(1)式就變為 ,這是一個二階常係數線性齊次微分方程,其通解為 ,式中A. 為任意常數,由初值條件給定。而
於是單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動
一般在高考之類的考試中,認為10°以下可以這樣近似。
事實上5°≈0.087266 rad,sin 5°≈0.087155,二者相差只有千分之一點幾,是十分接近的。在低精度的實驗中,這種系統誤差可以忽略不計(因為實驗操作中的偶然誤差就比它大)。但如果換成25°,誤差高達百分之三,就不宜再看成是簡諧振動了。
由於正弦函數的性質,這個近似是角度越小,越精確,角度越大越不精確。如果角度很大(比如60度處,誤差高達17%),就完全不能說它是簡諧振動了。
小角近似公式和實際曲線比較
伽利略第一個發現擺的振動的等時性,並用實驗求得單擺的周期隨長度的二次方根而變動。惠更斯製成了第一個擺鐘。單擺不僅是準確測定時間的儀器,也可用來測量重力加速度的變化。惠更斯的同時代人天文學家J.里希爾曾將擺鐘從巴黎帶到南美洲法屬蓋亞那,發現每天慢2.5min,經過校準,回巴黎時又快2.5min。惠更斯就斷定這是由於地球自轉引起的重力減弱。I. 牛頓則用單擺證明物體的重量總是和質量成正比的。直到20世紀中葉,擺依然是重力測量的主要儀器。

真實周期推導


上面提到是角度比較小的時候單擺的近似公式,但科學是嚴謹的,在此補充在任意角度下單擺的周期公式。
在此之前先提出兩個概念(這裡用Mathematica的定義):
第一類不完全橢圓積分:
第一類完全橢圓積分:
下面我用微分方程進行討論,讀者可以嘗試用動能定理進行計算,可以更簡潔地得到其特解。
設擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ,那麼單擺的運動公式為:
令 ,於是有 上式改寫成:
這是一個可分離變數的微分方程!分離變數:
其通解為
給定初始條件 (0≤α≤π), ,則其特解為:
單擺
單擺
所以考慮t(t是四分之一周期):
設 ,則
又考慮到
便可以化簡得到
按照前面的定義,便有
此處的α就是常說的擺角。

相關差別


直觀差別圖如右:
周期差別
利用電腦軟體,我們列出近似公式與真實公式的差別。
下面數據皆是相對誤差:相對誤差=(真實值-近似值)/真實值
每一行,擺角相差1度,自0取到180度。
0.0019038558531896002%
0.0076153871712633745%
0.01713448526148856%
0.030460969075184717%
0.047594585366650885%
0.06853500891589595%
0.09328184281540482%
0.12183461882124084%
0.1541927977688524%
0.1903557700540208%
0.23032285617945628%
0.27409330736761933%
0.32166630624041737%
0.37304096756649924%
0.42821633907694606%
0.48719140235023334%
0.549965073767417%
0.6165362055385787%
0.686903586801647%
0.7610659447947971%
0.839021946103721%
0.92077019798515%
1.006309249768103%
1.0956375943344412%
1.188753669680396%
1.2856558605608566%
1.386342500218304%
1.490811872198394%
1.599062212254311%
1.7110917103421366%
1.8268985127096076%
1.9464807240807704%
2.0698364099391786%
2.1969635989124314%
2.3278602852610035%
2.4625244314744745%
2.600953970978439%
2.7431468109555626%
2.8891008352844154%
3.038813907599942%
3.192283874479603%
3.3495085687594606%
3.5104858129847005%
3.675213422999331%
3.843689211680047%
4.0159109928195225%
4.191876585164665%
4.371583816615697%
4.555030528592199%
4.742214580572629%
4.933133854814164%
5.127786261260084%
5.326169742642323%
5.5282822797872475%
5.734121897133129%
5.9436866684683%
6.156974722899461%
6.3739842510601274%
6.594713511569824%
6.819160837755173%
7.04732464464473%
7.279203436250061%
7.514795813146305%
7.754100480366246%
7.99711625562274%
8.243842077875229%
8.494277016257039%
8.748420279381131%
9.006271225043092%
9.2678293703413%
9.533094402235417%
9.802066188565687%
10.074744789556986%
10.351130469833013%
10.63122371096772%
10.915025224602775%
11.202535966161768%
11.493757149193899%
11.788690260382037%
12.087337075252421%
12.389699674625776%
12.695780461852351%
13.00558218087636%
13.319107935178396%
13.636361207647948%
13.957345881441757%
14.282066261887804%
14.610527099499105%
14.942733614166162%
15.278691520602091%
15.61840705511994%
15.961887003827869%
16.309138732334322%
16.660170217062607%
17.014990078281997%
17.373607614971124%
17.7360328416386%
18.10227652723615%
18.472350236310504%
18.846266372552723%
19.224038224916786%
19.605680016494205%
19.991206956347447%
20.380635294522822%
20.773982380483087%
21.171266725221678%
21.57250806734433%
21.977727443430435%
22.386947263015642%
22.800191388569722%
23.21748522087999%
23.63885579029045%
24.06433185429185%
24.493944002007527%
24.92772476617582%
25.365708743292277%
25.807932722644754%
26.254435825053335%
26.70525965221522%
27.160448447654655%
27.62004927039044%
28.08411218256101%
28.552690452391587%
29.025840774051932%
29.50362350614023%
29.986102930741776%
30.47334753525516%
30.965430319458193%
31.462429130607322%
31.96442702973461%
32.47151269273426%
32.98378085032637%
33.50133277156177%
34.0242767962028%
34.552728922099824%
35.086813454603366%
35.62666372613477%
36.17242289531702%
36.72424483658309%
37.282295132982576%
37.84675218706157%
38.41780846727546%
38.99567191050804%
39.58056750504079%
40.172739082901636%
40.77245135613077%
41.37999223839477%
41.99567550190461%
42.61984383019676%
43.25287234061159%
43.895172667035965%
44.54719771472042%
45.20944722616039%
45.88247433208869%
46.56689330724679%
47.263388810526784%
47.972726968588255%
48.69576876871157%
49.433486371410815%
50.18698315232789%
50.95751856030661%
51.7465392710714%
52.55571868071775%
53.38700761086381%
54.24270033499423%
55.12552192866632%
56.03874591621829%
56.986355981090206%
57.97327350290041%
59.00568652891076%
60.09154082585585%
61.24130132912596%
62.46918883739732%
63.795307588848516%
65.24958544634976%
66.87982354979094%
68.77058140504862%
71.09802414324294%
74.36597547372776%
100%

應用


當單擺周期T=2s時,由公式推導,擺長大約為1m,這種情況的單擺叫做秒擺。秒擺常見於擺鐘上。
注意:在當前高中階段,一般研究擺角小於10°的情況(即近似看做簡諧運動),且高中階段教材中僅涉及在實驗中推測公式,不涉及單擺周期公式的推導(因為需要涉及到高等數學)。