圖靈機

圖靈的基本思想是用機器來模擬人們用紙筆進行數學運算的過程，他把這樣的過程看作下列兩種簡單的動作：

在紙上寫上或擦除某個符號；

把注意力從紙的一個位置移動到另一個位置；

而在每個階段，人要決定下一步的動作，依賴於 (a) 此人當前所關注的紙上某個位置的符號和（b) 此人當前思維的狀態。

徠為了模擬人的這種運算過程，圖靈構造出一台假想的機器，該機器由以下幾個部分組成：

1.一條無限長的紙帶 TAPE。紙帶被劃分為一個接一個的小格子，每個格子上包含一個來自有限字母表的符號，字母表中有一個特殊的符號 表示空白。紙帶上的格子從左到右依此被編號為 0,1,2,... ，紙帶的右端可以無限伸展。2.一個讀寫頭 HEAD。該讀寫頭可以在紙帶上左右移動，它能讀出當前所指的格子上的符號，並能改變當前格子上的符號。

3.一套控制規則 TABLE。它根據當前機器所處的狀態以及當前讀寫頭所指的格子上的符號來確定讀寫頭下一步的動作，並改變狀態寄存器的值，令機器進入一個新的狀態。

4.一個狀態寄存器。它用來保存圖靈機當前所處的狀態。圖靈機的所有可能狀態的數目是有限的，並且有一個特殊的狀態，稱為停機狀態。參見停機問題。

注意這個機器的每一部分都是有限的，但它有一個潛在的無限長的紙帶，因此這種機器只是一個理想的設備。圖靈認為這樣的一台機器就能模擬人類所能進行的任何計算過程。

在某些模型中，讀寫頭沿著固定的紙帶移動。要進行的指令（）展示在讀寫頭內。在這種模型中“空白”的紙帶是全部為 0 的。有陰影的方格，包括讀寫頭掃描到的空白，標記了 1,1,B 的那些方格，和讀寫頭符號，構成了系統狀態。（由 Minsky (1967) p.121 繪製）。

一台圖靈機是一個七元組，{Q，Σ，Γ，δ，,qaccept,qreject}，其中 Q，Σ，Γ 都是有限集合，且滿足

1.Q 是狀態集合；

2.Σ 是輸入字母表，其中不包含特殊的空白符；

3.Γ 是帶字母表，其中 Q∈Γ且Σ∈Γ ；4. δ：Q×「→Q×Γ×{L,R}是轉移函數，其中L,R 表示讀寫頭是向左移還是向右移；

5.∈Q是起始狀態；

6. qaccept是接受狀態。

7.qreject是拒絕狀態，且qreject≠qaccept。

圖靈機 M = (Q，Σ，Γ，δ，,qaccept,qreject) 將以如下方式運作：

開始的時候將輸入符號串 從左到右依此填在紙帶的第 號格子上，其他格子保持空白（即填以空白符）。M 的讀寫頭指向第 0 號格子， M 處於狀態 。機器開始運行后，按照轉移函數 δ 所描述的規則進行計算。例如，若當前機器的狀態為 q，讀寫頭所指的格子中的符號為 x，設 δ（q,x) = (q',x',L），則機器進入新狀態 q'，將讀寫頭所指的格子中的符號改為 x'，然後將讀寫頭向左移動一個格子。若在某一時刻，讀寫頭所指的是第 0 號格子，但根據轉移函數它下一步將繼續向左移，這時它停在原地不動。換句話說，讀寫頭始終不移出紙帶的左邊界。若在某個時刻 M 根據轉移函數進入了狀態 qaccept，則它立刻停機並接受輸入的字元串；若在某個時刻 M 根據轉移函數進入了狀態 qreject，則它立刻停機並拒絕輸入的字元串。

注意，轉移函數 δ 是一個部分函數，換句話說對於某些 q,x， δ（q,x) 可能沒有定義，如果在運行中遇到下一個操作沒有定義的情況，機器將立刻停機。

停機問題（halting problem）是目前邏輯數學的焦點，和第三次數學危機的解決方案。其本質問題是：給定一個圖靈機 T，和一個任意語言集合 S，是否 T 會最終停機於每一個。其意義相同於可確定語言。顯然任意有限 S 是可判定性的，可數的（countable) S 也是可停機的，在使用 oracle 輸入的幫助下。

通俗的說，停機問題就是判斷任意一個程序是否會在有限的時間之內結束運行的問題。如果這個問題可以在有限的時間之內解決，可以有一個程序判斷其本身是否會停機並做出相反的行為。這時候顯然不管停機問題的結果是什麼都不會符合要求。所以這是一個不可解的問題。

停機問題本質是一階邏輯的不自恰性和不完備性。類似的命題有理髮師悖論、全能悖論等。

證明：

設停機問題有解，即：存在過程H(P,I）可以給出程序P在輸入I的情況下是否可停機。假設若P在輸入I時可停機，H輸出“停機”，反之輸出“死循環”，即可導出矛盾：

顯然，程序本身可以被視作數據，因此它可以被作為輸入，故H應該可以判定當將P作為P的輸入時，P是否會停機。所以我們設過程K(P）的流程如下：首先，它調用H(P,P），如果H(P,P）輸出“死循環”，則K(P）停機，反之K(P）死循環。即K(P）做與H(P,P）的輸出相反的動作。

現在假設求K(K），則若H(K,K）輸出停機，K(K）死循環，但由定義知二者矛盾。反之，H(K,K）輸出死循環，則K(K）停機，兩者一樣矛盾。

因此，H不是總能給出正確答案，故而不存在解決停機問題的方法。

對於任意一個圖靈機，因為它的描述是有限的，因此我們總可以用某種方式將其編碼為字元串。我們用 表示圖靈機 M 的編碼。

我們可以構造出一個特殊的圖靈機，它接受任意一個圖靈機 M 的編碼 ，然後模擬 M 的運作，這樣的圖靈機稱為通用圖靈機(Universal Turing Machine）。現代電子計算機其實就是這樣一種通用圖靈機的模擬，它能接受一段描述其他圖靈機的程序，並運行程序實現該程序所描述的演演算法。但要注意，它只是模擬，因為現實中的計算機的存儲都是有限的，所以無法跨越有限狀態機的界限。經典圖靈機及其許多變形識別語言的能力都是相同的，正因為如此，圖靈機可以作為計算的一般模型。另外，通用圖靈機 (可編程圖靈機) 是存在的，通用圖靈機可以模擬任意一個圖靈機，這也是將圖靈機作為現代計算機的形式模型的根本原因。

圖靈機有很多變種，但可以證明這些變種的計算能力都是等價的，即它們識別同樣的語言類。證明兩個計算模型 A 和 B 的計算能力等價的基本思想是：用 A 和 B 相互模擬，若 A 可模擬 B 且 B 可模擬 A，顯然他們的計算能力等價。注意這裡我們暫時不考慮計算的效率，只考慮計算的理論上“可行性”。

首先我們可以發現，改變圖靈機的帶字母表並不會改變其計算能力。例如我們可以限制圖靈機 的帶字母表為 {0,1}，這並不會改變圖靈機的計算能力，因為我們顯然可以用帶字母表為 {0,1} 的圖靈機模擬帶字母表為任意有限集合 Γ 的圖靈機。

另一個要注意的是，如果我們允許圖靈機的紙帶兩端都可以無限伸展，這並不能增加圖靈機的計 算能力，因為我們顯然可以用只有紙帶一端能無限伸展的圖靈機來模擬這種紙帶兩端都可以無限 伸展的圖靈機。

如果我們允許圖靈機的讀寫頭在某一步保持原地不動，那也不會增加其計算能力，因為我們可以用 向左移動一次再向右移動一次來代替在原地不動。

其它的常見圖靈機變種包括：

多帶圖靈機

非確定型圖靈機

枚舉器

除了圖靈機以外，人們還發明了很多其它的計算模型。包括：

寄存器機

λ演算

生命遊戲

馬爾可夫演演算法

然而這些模型無一例外地都和圖靈機的計算能力等價，因此邱奇，圖靈和哥德爾提出了著名的邱奇-圖靈論題：一切直覺上能行可計算的函數都可用圖靈機計算，反之亦然。

1936年，英國數學家阿蘭・麥席森・圖靈(1912―-1954年)提出了一種抽象的計算模型——圖靈機( Turing machine)。圖靈機，又稱圖靈計算機，即將人們使用紙筆進行數學運算的過程進行抽象，由一個虛擬的機器替代人類進行數學運算。

圖靈提出圖靈機的模型並不是為了同時給出計算機的設計，它的意義有如下幾點:

(1)它證明了通用計算理論，肯定了計算機實現的可能性，同時它給出了計算機應有的主要架構；

(2)圖靈機模型引入了讀寫與演演算法與程序語言的概念，極大的突破了過去的計算機器的設計理念；

(3)圖靈機模型理論是計算學科最核心的理論，因為計算機的極限計算能力就是通用圖靈機的計算能力，很多問題可以轉化到圖靈機這個簡單的模型來考慮。

通用圖靈機向人們展示這樣一個過程:程序和其輸入可以先保存到存儲帶上，圖靈機就按程序一步一步運行直到給出結果，結果也保存在存儲帶上。更重要的是，隱約可以看到現代計算機主要構成，尤其是馮・諾依曼理論的主要構成。