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距離

數學概念

在數學中，距離是泛函分析中最基本的概念之一。它所定義的距離空間連接了拓撲空間與賦范線性空間等其他空間，是學習泛函分析首先接觸的概念。

目錄
1定義 2示例

定義

距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
設
是任一非空集，對
中任意兩點
有一實數
與之對應且滿足：
1)非負性、同一性：
，且
當且僅當
；
2)對稱性：
；
3)直遞性：
。
稱
為
中的一個距離，定義了距離
的集
稱為一個距離空間，記為
，在不引起混亂的情形下簡記為
。

示例

本節共提供三個例子。
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
例1設
是
元實數組全體，令
，
其中，
，
。
距離[數學概念]
距離[數學概念]
我們證明
是一個距離空間，為此我們需要驗證
滿足距離的三條公理。1)，2)顯然成立，關鍵是證明3)成立。我們先證明一下Cauchy不等式：對任意實數
，
，我們有
。
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
事實上，任取實數
，則
，
上面等式左端是
的一個二次三項式，於是它的判別式不大於0，即Cauchy不等式成立。
距離[數學概念]
距離[數學概念]
下面證明3)成立，由Cauchy不等式，得
。
設
是任意三點，在上面不等式中令
，則
，
即
。
距離[數學概念]
距離[數學概念]
所以是一個距離空間，我們把這個空間簡記為。
距離[數學概念]
距離[數學概念]
例2考慮區間
上所有連續函數集，設
是
上任意兩個連續函數，定義
，
由於
也是
上的連續函數，因此有最大值。距離公理1)2)顯然成立。設
是
上任意三個連續函數，則
。
所以
。
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
由此可知上的連續函數全體賦以上述距離是一個距離空間，記為。
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
距離[數學概念]
例3考慮實數列
的全體。設
是兩個實數列，定義
上式右邊的
是一個收斂因子，保證級數收斂，距離公理的1)2)顯然成立，為證明3)成立，考慮
上的函數
，
易見
，所以
是單增的。由此，設
。由於
，
則有
。
在上不等式兩邊乘
並求和，得到
。
距離[數學概念]
距離[數學概念]
我們稱這個距離空間為。

基本信息

中文名
距離
拼音
jù lí
術語類別
數學術語