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康托爾定理

康托爾定理

"康托爾定理:用P(X)記X的一切子集構成的集,用cardX表示X的勢,康托爾定理如下:cardX>cardP(X) 因為P(X)含有X的一切單元素子集,故cardX≤cardP(X)

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康托爾定理:用P(X)記X的一切子集構成的集,用cardX表示X的勢,康托爾定理如下:cardX
.證明:對於空集來說,上述結論顯然成立,所以可設X≠空集。因為P(X)含有X的一切單元素子集,故cardX≤cardP(X),現只需證明兩者不相等。若相等,假定f:X-P(X)是雙射,考察集合A={x∈X|x不∈f(x)},它由那樣一些元素x∈X,x不含於它對應的集f(x)∈P(X),,組成的。因為A∈P(X),所以必能找到一個元素a∈X,使f(a)=A,這個元素a∈X既不能有a∈A(據A的定義),也不能有a不∈A(也是根據A的定義),這與排中律矛盾。得證。
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