弧度制

在研究弧度制發展時，我們必須談到三角學和角，因為弧度制是依託它們二者存在的。依據三角學在數學研究中的地位，筆者認為三角學的發展可以分為萌芽階段、傳播階段和確立階段三個階段。萌芽階段從公元前約300年古巴比倫時期開始到公元640年希臘古代數學落幕為止，這段時期由於天文學的需要，三角學受到學者們的重視，它是天文學的一部分；傳播階段從公元640年希臘古代數學落幕後到15世紀文藝復興開始前為止，這段時期三角學在不同地區傳播，雖然其研究內容本質與萌芽階段時相比沒有區別，但它逐漸脫離天文學，成為了數學的一個分支；確立階段是從文藝復興開始至今，在微積分等新興數學力量的崛起下，三角學逐漸成為了其他數學分支中的一部分，而在此期間，弧度製成為了度量角的主要單位。

18世紀以前，人們一直是用線段的長來定義三角函數的。弧度定義的提出，是數學家Roger Cotes在1714年提出的，作為一種對角度的描述，使得對三角函數的研究大為簡化。中學數學教科書中都把radian譯作“弧度”。 1881年，學者哈爾斯特(G．B．Halsted)等用希臘字母ρ表示弧度的單位．1907年，學者包爾（G．N．Bauer)用r表示；1909年，學者霍爾(A．G．Hall)等又用R來表示，例如將單位弧度（角度制1°）寫成（π/180）rad，人們習慣把弧度的單位省略。

弧度制的基本思想是使圓半徑與圓周長有同一度量單位，然後用對應的弧長與圓半徑之比來度量角度，這一思想的雛型起源於印度。那麼半圓的弧長為π，此時的正弦值為0，就記為sinπ= 0，同理，1/4圓周的弧長為π/2，此時的正弦為1，記為sin(π/2)=1。從而確立了用π、π/2分別表示半圓及1/4圓弧所對的中心角。其它的角也可依此類推。

任意角：在任意一個角一邊所對應的射線情況下，逆時針旋轉所形成的角稱為正角；順時針轉動所形成的角稱為負角；射線未作任何旋轉，仍留在原來位置，那麼我們也把它看成一個角，叫做零角。這樣，就可以將角由優角、劣角擴展到任意角。

如果用弧度製表示，正角的弧度值是一個正值（正實數），負角的弧度值是一個負值（負實數），零角的弧度值是零。因此，弧度制能使角的集合與實數集合R存在一一對應關係：每一個角都對應唯一一個確定的實數。

弧度分：正角的弧度值是一個正量（正實數），負角的弧度值是一個負量（負實數），零角的弧度值是零。弧度制能使角的集合與實數集合R存在一一對應關係：每一個角都對應唯一的一個實數。

角度制，就是用角的大小來度量角的大小的方法。在角度制中，我們把周角的1/360看作1度，那麼，半周就是180度，一周就是360度。由於1度的大小不因為圓的大小而改變，所以角度大小是一個與圓的半徑無關的量。

弧度制，顧名思義，就是用弧的長度來度量角的大小的方法。單位弧度定義為圓周上長度等於半徑的圓弧與圓心構成的角。由於圓弧長短與圓半徑之比，不因為圓的大小而改變，所以弧度數也是一個與圓的半徑無關的量。角度以弧度給出時，通常不寫弧度單位，有時記為rad或R。

換算

一個完整的圓的弧度是2π，所以：

2π rad = 360°，1 π rad = 180°，1°=π/180° rad ，1 rad = (180/π)°≈57.30°=57°18ˊ

上式中，l為弧長，α為角度（弧度制），r為半徑。

推導：由弧度定義得

上式中，S為面積，α為角度（弧度制），r為半徑。

推導：（角度制角度為n°）由，將α代入，得到

做圓周運動的物體在單位時間內所走的弧度即為角速度。符號：ω，單位：弧度每秒（rad/s）。定義公式：(α為所走過弧度，t為時間）。

由角速度、線速度（速率）的定義公式及弧長公式可以推出角速度與線速度的關係式：（r為半徑）

做周期運動的物體完成一次周而復始的運動所需的時間即為周期。符號：T，單位：秒（s）。

在勻速圓周運動中，周期T與角速度ω有關，關係式為。

弧度制之所以能成為當今數學主要的角的單位制度，主要原因有二：

(一)使進位制統一。在古巴比倫以及古希臘時期，數學家在研究天文學問題時，普遍習慣使用60進位對角進行度量，為了進位制的統一，也用60進位度量弦長和弧長。此時，角度制滿足了這種需求。而隨著歷史的發展，10進位取代了60進位成為了度量長度的主要進位制。為了保持進位制的統一，自然地也將角的進位制換成10進位。弧度制滿足了這一需求，而且可以與角度制進行一一對應的換算，與原有數學系統相容．這樣，在查閱三角函數表時就可以看到用統一進位製表示的數，便於數與數之間的對比，提高解決問題的效率。

(二)簡化微積分創立后公式的計算．弧度制大約直到18世紀才被提出來，它的提出是受到微積分等近代數學發展的推動的。在弧度制下，與三角函數有關的一些公式在形式上均比角度制下有很大的簡化。正是因為這樣的優越性，弧度制才逐漸被數學界普遍接受和廣泛使用。