三角學

三角學(trigonometry)數學的一門分科，包括平面三角學和球面三角學。平面三角學研究三角函數的性質和圖象、三角函數式的恆等變換、解三角形等。球面三眾學研究球面三角形的邊角關係，以及由球面三角形的三個巳知基本元素，計算它的未知基本元素的問題。三角學在高等數學、天文學、物理學、測量學以及航海等方面都有廣泛的應用。

以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關係為基礎，達到測量上的應用為目的一門學科。同時，三角學還研究三角函數的性質以及它們的應用。

研究三角函數的、屬於分析學的一個分支。三角學輸入我國，開始於明代崇禎四年(1631年)，這一年徐光啟等合編了我國第一部三角學《大測》。清朝初年，數學家梅文鼎編寫了《平三角舉要》和《弧三角舉要》各五卷，這是當時兩部較好的入門書籍。

三角學既可以在歐幾里得幾何學中考慮，亦可在非歐幾何學中考慮，歐幾里得空間中球面上的三角學稱為球面三角學。

“三角學”一詞源於希臘文“三角形”和“測量”兩詞的組合，原意為三角形的測量，或者說解三角形。它從最初研究到最後的學說確立，經歷了很長的時間。

三角學最初並不是獨立發展的，它是在早期人們的天文、航海應用中逐漸形成的。最早研究三角學的是古希臘人，那時他們為了計算航海路線和根據天體運行來推演日曆，開始研究三角形的邊與角的關係。而根據實際需要，最先發展的是球面三角形的理論。那時的古希臘人就已經研究出了一些三角形定理，比如相等的兩邊對應的角相等、兩邊之和大於第三邊等。在數學界，人們大都認為是希臘天文學家喜帕恰斯創立了三角學。他曾有12卷關於三角學的著作，並製作出了弦表。

公元元年以後，在亞歷山大，數學研究還在繼續著，但人們對這門學科本身的興趣在逐漸減退，它逐漸成了其他學科尤其是天文學的輔助學科。這個時期的著名人物是托勒密(克羅狄·托勒密)，他於公元2世紀中葉享有盛名。他的著作《大彙編》，後來人們稱為《至大論》主要是天文學方面的論著。但是它在數學史中很重要，因為它可以說是三角學最早的系統性論著。有充分的理由相信，在《至大論》一書中，很多內容都是喜帕恰斯所知道的，而托勒密很可能也熟悉梅內克繆斯的《球面幾何學》(Spharica)，後者有相當篇幅討論到球面三角形的性質。

三角學這門科學是從確定平面三角形和球面三角形的邊和角的關係開始的。很可能埃及人早已發現三角形的不同元素之間具有某種關連，但首先看到有必要建立三角形的邊與角之間的精確關係的乃是希臘人。托勒密在天文學上的研究要求建立某些能精確確定這些關係的規則，正是為了改善天文計算，三角學才應運而生。因此，球面三角學的研究先於平面三角學。這些規則，有許多可在《至大論》一書的第一卷中找到。

三角學在波伊爾巴赫(1423—1461)、雷格蒙塔努斯(原名約翰·繆勒)、雷蒂庫斯和皮蒂斯楚斯(1561——1613)等人手中獲得了進一步的發展。

1.三角測量

三角測量是指在導航、測量及土木工程中精確測量距離和角度的技術，主要用於為船隻或飛機定位。它的原理是：如已知三角形的一邊及兩角，則其餘的兩邊一角可用平面三角學的方法計算出來。在西方，古希臘著名數學家畢達哥拉斯首次證明了有關直角三角形的“畢達哥拉斯定理”，即中國的“勾股定理”，對於幾何學研究及其應用做出了巨大貢獻。

三角測量是按三角原理布設平面控制網的各種方法。三角測量包括三邊測量、邊角測量及交會測量等方法，是測量中建立平面控制網的一種主要方法。系指按一定要求在地面選定若干個點(三角點)，構成由相互連接的三角形組合的三角鎖網。通過觀測三角形各角角值或方向值，並測定一個或幾個起始邊邊長和起始方位角(或起始於一個或幾個已知點、已知方位角)，進而根據三角公式及最小二乘法原理，算得各角或方向的平差值以及各邊的邊長、方位角，根據已知點坐標推算出各未知點的坐標。

三角測量的基本布網形式為三角鎖和三角網。鎖網中的測量元素是角度或方向的，稱為測角三角鎖、測角三角網。測角三角鎖網在平差后根據角度推算各邊邊長、方位角和各點坐標，是應用最廣的傳統布網方法。測量元素為邊長的稱為測邊三角鎖、測邊三角網。測邊三角鎖網平差后根據邊長推算三角形各角角值、各邊方位角和各點坐標。

2.勾股定理

在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，也就是直角三角形斜邊上的正方形的面積等於兩條直角邊上正方形面積的和。這就是著名的勾股定理。由勾股定理，人們後來又相繼推演出“勾股定理的逆定理”和“勾股數組”等數學概念。

3.三角鏈

三角形中有一條邊經量度為已知，稱為基線。其相鄰的兩角用經緯儀測出，就可確立整個三角形。測定許多這樣的三角形，每個三角形至少與另一個三角形相鄰，則可求得用其他方法無法測量的距離和角度。

4.三角函數

在直角坐標系中，以原點O為頂點，射線OX為始邊，OP為終邊的角為θ，設點P的坐標為(x，y)，距離lOPl=r，這時6個比y/r、x/r、y/x、x/y、r/x、r/y由角θ的大小確定，都是θ的函數，稱它們為角θ的三角函數，分別叫做正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割。