三角測量

當今三角測量有諸多用途，如土地測量、航海、計量學、天文測量學、雙眼視覺、火箭模型以及武器的彈道方向。

使用三角測量估測距離可追溯到古代。公元前六百多年，希臘哲學家泰勒斯藉由測量自己及金字塔的影子長度，以及自己的身高，並運用相似形的原理（截線定理）來測量金字塔的高度。泰勒斯亦根據此原理推算自己與海上船隻的距離，以及推算懸涯的高度。這類技術對於古埃及人來說並不陌生。一千多年前，萊因德數學紙草書中的第57道題，定義了叫謝特的單位來表示跑多少能增加多少斜率的比率，如同現在所使用坡度的倒數。古希臘人以一個叫戴普銼的視線棒來量測斜率與角度，可謂使用照準儀的先驅。使用此儀器來遠距測量長度及尺規作圖的細節被保存至現代，記載於希羅的戴普銼（公元10–70年），但此一技術後來在歐洲失傳。在中國，裴秀（公元224年－271年）提出“製圖六體”的第五條：方邪（測量直角銳角），做為精確地測量距離的必要條件。同時期的中國數學家劉徽（公元263年）則提出了一個計算方法，以測量無法到達的地點之直角距離。在此時空領域中，三角測量明顯沒有被羅馬的地理調查專家們（agromensores）所使用，但隨著具有伊斯蘭幾何學及製圖學的星盤傳入中世紀的西班牙，當時著名的天象學家如伊本·沙法爾（公元1035年）。比魯尼（公元1048年）亦推出了使用三角測量法來測量地球的大小及不同地點間的距離。而羅馬人使用的簡化技術似乎與當時歐洲地理調查專家使用的複雜技術同時存在。但此類技術在12世紀的文藝復興中鮮少被翻譯成拉丁文，並且以緩慢速度為歐洲人熟悉。記載於公元1300年之中古世紀，專門用來測量角度的雅各伯棍，以及最早存在紀錄是公元1296年間的波特蘭型海圖中，準確的海岸線樣貌調查與繪製，顯示可能有更多此類技術被發掘及使用於西班牙。

法蘭德斯地圖製作者赫馬·弗里修斯提出使用三角測量來準確地定位遠方地點以製作地圖，在公元1533年所編寫關於描述地點方法的小冊子，並附錄於一個1524年暢銷新版的彼得魯斯·阿皮亞努斯的皮革制宇宙誌之附錄。此技術後來變得非常有影響力，併流傳於德國、奧地利、以及紐西蘭。

公元1579年在斯堪的納維亞的天文學家，第谷·布拉赫在瑞典汶島上應用赫馬·弗里修斯的方法完成一詳盡的三角測量，他在島上使用松德海峽兩側為關鍵參考地標來觀測距離，於1584年產出了該島的地產平面圖。在英格蘭赫馬·弗里修斯的方法被收錄在越來越多的地理調查書籍，從中世紀起，包括威廉·克尼厄姆的《宇鏡世界》（公元1559年），貝倫譚·雷（Valentine Leigh）的《陸地測量總論》（公元1562年），William Bourne的《航海守則》（公元1571年），托馬斯·迪格斯的《幾何學練習》（Pantometria）（公元1571年），以及約翰·諾登的《調查家的對話》（公元1607年）。

有人認為克里斯多福·薩克斯頓也許有使用過粗淺的三角測量來放置特徵點在他1570年的郡地圖，不過也有其他人認為，當從有利的觀察點獲得粗略的特徵間的關係，他可能只是用簡單的猜測來估計距離。

現代系統化的三角測量網路源自於荷蘭數學家威理博·司乃耳，他在公元1615年使用一個包含33個三角形的多角形鏈接，測查了從阿爾克馬爾到貝亨奧普佐姆的距離，趨近於70英里（110公里）。這兩個鎮相隔一個經度，因此根據他的測量，可以計算出一個地球圓周長的值。威理博·司乃耳發表於1617年的著作《Eratosthenes Batavus》（荷蘭埃拉托斯特尼）專門描述這項方法與創舉。。司乃耳計算平面公式如何被修正以合乎地球曲率。他亦展示如何使用一未知點與三角頂點連線交錯的角度來重切或計算，一個三角內的未知點座標，相較於仰賴羅盤上頂點的轉動，這些座標點可被量測地更精確，建構此方法的關鍵想法：先調查大範圍主要網路的控制點，再接者定位主要網路中的次要點位。

金‧皮卡於1669-1670年間使用司乃耳的方法，以十三個三角串鏈來調查延著巴黎子午線，從巴黎往北延伸至鄰近亞眠市之蘇爾東鐘樓的一緯度。裨益於儀器及精度的演進，皮卡的量測被認為是第一個合理地準確量測的地球半徑。經過一個世紀，卡西尼家族將這樣的技術做了最顯著的延伸：公元1683年至1718年間，喬凡尼·多美尼科·卡西尼以及他的兒子傑可斯·卡西尼（Jacques Cassini）考查了從敦克爾克到佩皮尼昂的整段經線，且在公元1733與1740年間，傑可斯以及他的兒子科科·卡西尼承辦了第一個全國性的三角測量計劃，包含一個經度的重新考查，直至1745發表第一個基於嚴僅規則的法國制地圖。

至此，三角量測法被良好地建立及運用在區域性的地圖製作，但只有到了18世紀末，其他國家才開始建立詳細的三角量測網路調查，以建立全國性地圖。公元1853年，英國地形測量局開始編撰大英三角量測學，直至1853年才完成；此外，始於1801，在印度進行的大三角地理調查，最終命名且標註了聖母峰，以及其他喜馬拉雅山脈的高峰。於法國的拿破倫時代，自1801年開始，金‧喬斯夫‧全寇特將法國的三角量測學推廣至德國萊茵蘭，接續由普魯士將軍卡爾堋‧莫福英在1815年完成。同時間，著名的數學家卡爾·弗里德里希·高斯據信從1821年至1825年，根據漢諾威王國的三角量測學，他發展出最小平方法以求得大型系統方程組問題的最佳解，增進了更多量測的真實性。

直至今日，建立於1980年代的衛星導航系統，已廣泛地取代用於定位的大型三角量測網路。但許多早期三角量測的控制點依然被保留下來，成為歷史特色的地標，例如，建立於大英三角量測重測期間（公元1936年–1962年），用混凝土修築的三角點，或是斯特魯維測地弧（公元1816–1855年）的眾多三角點，至今被聯合國教科文組織（UNESCO）列為世界遺產。

在三角測量中作為測站，並由此測定了水平位置的這些頂點稱為三角點。

為了觀測各三角形的頂角，相鄰三角點之間必須互相通視。因此三角點上一般都要建造測量覘標（測量標誌）。為了使各三角點在地面上能長期保存使用，還要埋設標石。

觀測各三角形的頂角時，觀測目標的距離有時很長（達幾十公里），在這樣長的距離上，即使用精密經緯儀的望遠鏡照準測量覘標頂部的圓筒，也難獲得清晰的影像。為了提高照準精度，必須採用發光裝置作為照準目標。在晴天觀測採用日光回照器，藉助平面鏡將日光反射到測站；在陰天或夜間觀測時，則採用由光源、聚光設備和照準設備所組成的回光燈。

三角測量中各三角形頂角的觀測工作稱為水平角觀測。主要有兩種觀測方法，一是方向法或全圓法（全圓觀測法），二是全組合測角法（見角度測量）。除了觀測各三角形的頂角外，三角測量還要選擇一些三角形的邊作為起始邊，測量它們的長度和方位角。過去用基線尺在地面上丈量起始邊的長度，由於地形限制，一般只能丈量長幾公里的線段。因此，往往需要建立一個基線網，直接丈量基線長度，然後通過網中觀測的角度推算起始邊長度。20世紀50年代電磁波測距儀出現之後，可以直接測量起始邊長度，而且精度很高，極大地提高了三角測量的經濟效益。為了測量起始邊的方位角，需要在起始邊兩端點上實施天文測量。

在完成上述觀測之後，從一起始點和起始邊出發，利用觀測的角度值，逐一地推算其他各邊的長度和方位角，再據此進一步推算各三角形頂點在所採用的大地坐標系中的水平位置。

三角測量的實施有兩種擴展方式：

一是同時向各個方向擴展，構成網狀，稱為三角網，它的優點在於點位均勻分佈，各點之間互相牽制，對於低等測量有較強的控制作用。缺點是作業進展緩慢。

二是向某一定方向推進以構成鎖狀，稱為三角鎖，它僅構成控制骨架，中間以次等三角測量填充，三角鎖的推進方向可作適當選擇，避開作業困難地帶，故較三角網經濟，作業進展迅速，但控制強度不如三角網。

三角鎖網中的單個圖形一般是單三角形，也可以是有雙對角線的四邊形，或者是有一中點的多邊形等不同形式。

20世紀50年代以前，國家大地網以及工程測量和城市測量中精密控制網的建立，幾乎一律採用三角測量法。此後，由於電磁波測距儀的迅速發展，測距精度不斷提高，而採用光學經緯儀的傳統三角測量方法的定位精度則已達到極限，很少有提高的可能，因此從發展趨勢來看，三角測量將逐漸為三邊測量、導線測量或測邊測角布網方式所取代。

• GSM定位

• 多點相關定位，使用其他已知點位之間的到達時間差來定位一個未知點。

• 視差

• 重新區塊化

• 立體視覺

• 測量

• 徠密鋪，以多個三角形覆蓋一多邊形。

• 三角測量站

• 三邊測量