反射原理

反射原理(reflection principle)亦稱反射定理。模型論中LST定理的集合論形式。設φ，φ，…，φ為ZF系統的任意有限條公理，則存在集合模型M，使M⊨φ∧φ∧…φ，即M為φ，φ，…，φ的模型。這一結論稱為反射原理。在ZF系統中，不可能證明存在ZF系統標準集合模型，但由反射原理，可以證明(在ZF系統中)，任何有限片段均存在集合模型。反射原理還可以表述為下列更一般的形式：設H為一個類，對每個序數α，設Z(α)為一個集合，且滿足：

1.α<β→Z(α)⊂Z(β)；

2.若γ為極限序數，則；

3.，O表示序數的全體；

則在ZF系統中可以證明，對任何公式Φ及任意序數α，存在序數β>α，使得Z⊨Φ，當且僅當Z(β)⊨Φ即公式Φ對Z(β)，Z絕對。反射原理由蒙太古(Montague，R.)最先給出，它在公理集合論中有著非常廣泛的應用。

數理邏輯的一個分支，是研究形式語言及其解釋(模型)之間關係的理論。

用模型來研究數學理論可追溯到非歐幾里得幾何學的無矛盾性證明(見解釋)：建立歐氏幾何模型，從而證明了非歐幾何相對於歐氏幾何的無矛盾性。20世紀20年代后，隨著證明論的創立和發展，對形式系統的研究不斷深入，許多問題是依賴於模型(解釋)來研究的，例如可用各種模型來論證一組(形式)語句的無矛盾性或範疇性，也可用模型來論證一語句對一組語句的獨立性等等。因而形式語言與其解釋之間的關係問題日益受到重視，成為重要的研究對象。

最早的模型論研究是勒文海姆和斯科朗等人的工作。1915年勒文海姆證明：每一組有限多語句如果有模型的話，則它也有一個可數模型。1920年斯科朗把這一結果推廣到有可數個語句的情況。20世紀30年代哥德爾、馬爾采夫等人在緊緻性定理方面的工作也是重要的奠基性工作。但是直到20世紀50年代，模型論才正式成為一門新的學科，主要標誌是1949年亨肯發表的完全性定理的新證明，1950年國際數學家大會上塔爾斯基與A.魯賓遜的報告以及1951年A.魯賓遜《代數的元數學》的發表。

一個形式語言ℒ的解釋u稱為此語言的一個模型或結構。u是一個具有若干運算、關係及特指元素的非空集合，也稱為泛代數。所以，模型論又被形容為“泛代數+邏輯”。由於所涉及的邏輯系統不同，模型論可分為：一階模型論、高階模型論、模態模型論、多值模型論等。由於在數理邏輯中以一階邏輯發展最成熟，所以，模型論中也以一階模型論的內容最豐富，應用也最多。

構造模型是模型論的重要課題，模型論採用了許多獨特的構模方法和工具。例如20世紀50年代塔爾斯基與沃特提出的初等子模型；20世紀70年代A.魯賓遜等人提出的模型論力迫法；由斯科朗提出而在20世紀50年代由沃希等人作了系統化的超積等。這些方面後來都有新的發展。

模型論應用於數學各分支，取得了許多新結果。在代數方面應用，取得群論和域論的一些結果，如阿克斯與科琴用它解決了著名的阿廷猜想。在分析方面應用，A.魯賓遜構建了非標準分析(1960—1961年)，現已發展為一整套非標準數學。

解釋集合論語言的系統或結構。設M為非空集合或真類，E為M上的一個二元關係，則結構〈M，E〉為集合論語言的一個模型，M稱為模型的域。這裡，集合論全域V中的每個集合被解釋成M中的一個元素，集合的屬於關係∈被解釋成二元關係E。對任意集合論語言中的合式公式φ，模型〈M，E〉與φ的滿足關係〈M，E〉⊨φ，可遞歸定義如下：

1.若φ為原子公式，則〈M，E〉⊨x=y，當且僅當x=y;〈M，E〉⊨x∈y，當且僅當x∈y。

2.若φ形如φ∧φ，則〈M，E〉⊨φ∧φ，當且僅當〈M，E〉⊨φ且〈M，E〉⊨φ。

3.若φ形如ᒣψ，則〈M，E〉⊨ᒣψ，當且僅當〈M，E〉⊨ψ不成立。

4.若φ形如∃xψ，則〈M，E〉⊨∃xψ，當且僅當存在a∈M使〈M，E〉⊨ψ(a)。

集合論模型與模型論中定義的模型有著非常密切的關係。一方面集合論模型只是對集合論語言的解釋，因此，它是一種特定語言的模型；另一方面模型論中的模型之論域必須為一集合，而集合論模型的域可以為一真類。儘管兩者有一定區別，但模型論中的許多定理，如完備性定理、LST定理、緊緻性定理等在集合論中均有相應的形式。

數理邏輯的主要分支之一，是用公理化方法處理樸素集合論的內容的理論，更重要的，是研究集合論的元數學性質——集合論的模型、各公理的關係、各系統之間的關係、各種不可判定語句以及集合論公理化過程中所提出的種種新方法和新問題的理論。

1908年，策梅羅提出了第一個集合論公理系統，旨在避免集合論中的悖論。20世紀20年代，弗倫克爾和斯科朗加以改進和補充，得到常用的策梅羅一弗倫克爾公理系統，簡記為ZF。這是一個建立在有等詞和屬於關係的一階謂詞演算之上的形式系統。它的非邏輯公理有：外延公理、空集公理、無序對公理、並集公理、冪集公理、替換公理模式、正則公理。如果另加選擇公理(AC)，則所得到的公理系統簡記為ZFC。

已經證明，ZF對於發展集合論是足夠的，它能避免已知的集合論悖論，並在數學基礎研究中提供一種方便的語言和工具。在ZF中，幾乎所有的數學概念都能用集合論語言來表達。數學定理也大都可以在ZFC系統內得到形式證明。因而作為整個數學的基礎，ZFC是完備的。數學的無矛盾性可歸結為ZFC的無矛盾性。

由哥德爾的不完全性定理可知，如果ZF是無矛盾的，則在ZF中不能證明自身的無矛盾性。所以，在公理集合論中只考慮相對無矛盾性問題，解決的方法是構造模型，常用的三種方法是：內模型法，外模型法(力迫方法)，對稱模型法。1938年，哥德爾證明了CH對於ZFC的相對無矛盾性，用的就是內模型法。1963年，科恩創立外模型法，證明了CH相對於ZF的獨立性。

公理集合論的一個研究領域是由樸素集合論中對無限組合問題的研究發展而來的組合集合論。另一個研究領域是描述集合論(解析理論)，主要探討劃分層次(級)后的實數子集的結構性質問題。在研究這兩個領域的許多問題時，都要用到ZF(或ZFC)以外的附加假設(公理)才能判定。常用的附加假設有：可構成公理，各種大基數公理以及與AC不相容的決定性公理等。

1938年，哥德爾提出了可構成公理，20世紀60—70年代，這一公理得到重視和發展。大基數公理雖然早已提出(在ZF+大基數公理(即“存在一大基數”)的公理系統中，可以證明ZF是無矛盾的)，但直到20世紀60年代以後才作為公理集合論某一領域的附加假設使用。幾乎每一種大基數都是ω的某種性質向不可數基數的推廣。可構成性、大基數和力迫方法(外模型法)已成為當代公理集合論研究的三大主流，它們又是三種重要的工具。隨著無限對策的產生和對策論在數學各分支中的滲透，決定性公理也日益受到重視。