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零點定理

函數定理

如果函數徠y= f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有f(a)·f(b)<0,那麼，函數y= f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)= 0的根。

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基本介紹

證明：不妨設，f(b)>0.令

E={x|f(x)≤0,x∈[a,b]}.

由f(a)<0知E≠Φ,且b為E的一個上界，於是根據確界存在原理，

存在ξ=supE∈[a,b].

下證f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此時必有ξ∈(a,b).）.事實上，

(i)若f(ξ)<0,則ξ∈[a,b).由函數連續的局部保號性知

存在δ>0,對x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

這與supE為E的上界矛盾；

(ii)若f(ξ)>0,則ξ∈(a,b].仍由函數連續的局部保號性知

存在δ>0,對x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1為E的一個上界，且x1<ξ,

徠這又與supE為E的最小上界矛盾。

綜合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

我們還可以利用閉區間套定理來證明零點定理。

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