零值定理

零值定理

零值定理為介值定理的推論。又名零點定理。其內容為：設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，且f(a)與f(b)異號（即f(a)×f(b)<0），那麼在開區間（a，b）內至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點ξ（a<ξ

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1幾何意義 2證明過程 3定理應用

幾何意義

在[a,b]上連續的曲線，如果f(a)*f(b)<0，則此函數與X軸y=0在[a，b]內至少相交於一點。

證明過程

不妨設f(a)<0，f(b)>0。令E={x|f(x)<0，x∈[a，b]}

由f(a)<0知E≠Φ，且b為E的一個上界，於是根據確界存在原理，存在ξ=supE∈[a，b]。

下證f(ξ)=0（注意到f(a)≠0，f(b)≠0，故此時必有ξ∈(a，b)）。

事實上，

(i)若f(ξ)<0，則ξ∈[a，b)。由函數連續的局部保號性知存在δ>0，對x1∈(ξ，ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈E：x1>supE，這與supE為E的上界矛盾；

(ii)若f(ξ)>0，則ξ∈(a，b]。仍由函數連續的局部保號性知存在δ>0，對x1∈(ξ-δ，ξ)：f(x)>0→存在x1為E的一個上界，且x1<ξ這又與supE為E的最小上界矛盾。

綜合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

我們還可以利用閉區間套定理來證明零點定理。

定理應用

該定理廣泛應用在二次函數根的分佈習題中。

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