指數爆炸

指數的概念：在乘方a中，其中的a叫做底數，n叫做指數，結果叫冪。

f(x)=a^x (a為常數，如圖中a=2 x為指數) 隨著x單位長度的遞增，f(x)會呈“爆炸性”增長

x1=0 f(x1)=1

x2=1 f(x2)=2

x3=2 f(x3)=4

x4=3 f(x4)=8

x5=4 f(x5)=16

x6=5 f(x6)=32

x7=6 f(x7)=64

·· ····

·· ····

·· ····

x21=20 f(x21)=1048576

一張紙對摺一次，厚度變成原來的2倍。

再對摺第二次，變為原來的2的2次方倍即4倍。

以此類推，假設紙的厚度為0.1mm，則對摺24次以後，長度超過1千米；對摺39次達55000千米，超過地球赤道長度；對摺42次達44萬千米，超過地球至月球的距離；對摺51次達22億千米，超過地球至太陽的距離；對摺82次為51113光年，超過銀河系半徑的長度。不過，只是一個不符合實際的數學理論推理數字。

那麼在現實生活中，一張紙究竟能折多少次呢？

如果紙為正方形，邊長為a，厚度為h，當摺疊一次的時候，摺疊邊長不變，厚度為2倍的h，摺疊兩次的時候，摺疊邊長為原邊長的二分之一，厚度變為4倍的h，就這樣摺疊下去，可以推出一個公式：當摺疊次數n為偶數次時，摺疊邊長為l/(2^(0.5*n))，厚度變為2^n*h，當滿足n>2/3*(log2(l/h)-1)時無法摺疊。根據一般的紙張的狀況，厚度大約為0.1mm，邊長為1m時，根據以上公式，可以得出n>8.1918時無法摺疊，這意味著對於厚度大約為0.1mm，邊長為1m的正方形紙，只能摺疊8次。但8次人類是很難辦到的，只能依靠機器。

所以，一張紙最多能對摺多少次實際是一個變數，它取決於紙張的實際厚度與大小。

在現實生活中，一張普通的A4紙，一般人可以折到6次，厲害的人可以折到7次。

傑米是百萬富翁。一天，他碰到上一件奇怪的事。一個叫韋伯的人對他說：“我想和你訂個合同，我將在整整一個月中每天給你10萬元，而你第一天只需給我1分錢，以後你每天給我的錢是前一天的兩倍。”傑米說：“真的？！你說話算數？”

合同開始生效了，傑米欣喜若狂。第一天傑米支出1分錢，收入10萬元。第二天，傑米支出2分錢，收入10萬元。到了第10天，傑米共得100萬元，而總共才付出5元1角2分。到了第20天，傑米共得200萬元，而韋伯才得5千元多。傑米想：要是合同訂二、三個月該多好！可從21天起，情況發生了轉變。

第21天傑米支出1萬多，收入10萬。到第28天，傑米支出134萬多，收入10萬。結果，傑米在一個月(31天)內得到310萬元的同時，共付給韋伯2千1百多萬元！傑米破產了。

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