電路的穩定性

動態電路在運行中受到各種擾動而不引起工作狀態的質的變化，或擾動消失后能返回(或接近於)原來的工作狀態的性質。穩定是電路能正常工作的必要條件。穩定性問題涉及電路中電流、電壓的變化，因此它只在動態電路（含電感、電容等元件的電路）里才出現。而實際電路一定存在電感（例如導線的電感）、電容（如導體間的電容），它們都是動態電路，因而總存在穩定性問題。

線性定常電路的穩定性 線性定常 n階電路的電路方程是常係數n階常微分方程。例如電阻R、電感L串聯電路的電路方程是一階常微分方程：

式中i是電流,e（t）是作用於電路的電動勢。一般講來，電路方程的形式如下：

式中f(t)由獨立電源決定，而且│f(t)│＜M，M是一個確定的正數；係數a0,a1，…，an是常數。上述微分方程的特徵方程是

anPn＋aP＋…a1P＋a0＝0

這個特徵方程是n個根P1，P2,…，Pn,稱作特徵值。如果所有特徵值的實部小於零，則微分方程的解χ 的絕對值不會無限增長，對應的電路是穩定的。如果有任何一個特徵值的實部大於零，則解χ的絕對值會無限增長，對應的電路是不穩定的。例如上述一階電路的特徵方程是LP＋R＝0,只有一個特徵值 P1＝-R/L。當R＞0、L＞0時，P1＜0,電路穩定。一般講來，由電阻、電感、電容（它們都是正常數）和獨立電源構成的電路，是穩定的電路。如果電路中含有放大器或含有受控電源時，電路可能不穩定。

非線性電路的穩定性問題 許多非線性電路的電路方程可用狀態方程描述：

電路的穩定性

式中χ1，…，χn是狀態變數，通常代表電感、電流和電容、電壓；s1，…，sn是由獨立電源決定的量，若電源是直流電源，它們是常量，否則它們是時間t的函數。指定狀態變數χ1，χ2，…之值，決定了n維狀態空間中的一點。χi是時間函數時，狀態量的變化由狀態空間里點隨時間運動的軌線表示。

不變解的穩定性 直流電源作用於電路時，電路方程可有不變解，它代表電路中各處的電壓、電流是不隨時間變化的常量。這時所有狀態變數也是常量，記作χ10，χ20，…,χ,由狀態空間中一個不動的點P代表。該點稱不動點或平衡點（圖1）。由於某種干擾，在t0時刻狀態稍許偏離了不動點P而位於P點周圍任一點q0，從t0時刻開始，由q0發出的軌線如圖1曲線所示，曲線上q1、q2分別代表t1、t2時點的位置。若對於任何時刻ti,由不動點P到qi的距離di總是很小，不動點P是穩定的，即電路不變解是穩定的。若qi最終趨於P點，不動點P是漸近穩定的，這代表雖然干擾使狀態偏離不變解，但最後狀態會回到該不變解。若qi最終遠離P點，不動點是不穩定的。

直流電源作用下，非線性電路的不變解可以不止一個，與之對應的狀態方程的不動點可以不止一個。只有那些漸近穩定的不動點才和電路的穩態解對應。

電路周期解的穩定性 電路的周期解用狀態變數表示時是χ1＝φ1(t),χ2＝φ2(t)，…，χn＝φn(t)，所有φi(t)函數是t的周期函數，周期為T。在狀態空間里，點的軌線是一條閉曲線。圖2所示為二階電路狀態空間中的閉軌線r。設t0時，點P的坐標是χ1=φ1(t0)、χ2＝φ2(t0)。經過一個周期，即在t0＋T時刻，狀態點仍位於P點。設由於某種干擾,t0時刻的狀態稍許離開 P點而是位於 P點周圍的任一點q0。從t0開始，從q0發出的軌線如圖2中曲線r┡所示，圖中,q1、q2代表t1、t2時的點的位置。若r┡最終趨於閉軌線r,稱周期解是穩定的；若r┡遠離r,稱周期解是不穩定的。只有穩定的周期解，才是電路的穩態解。

結構穩定性 電路的響應和電路參數有關。電阻、電感、電容、正弦電源的振幅和頻率等，都是電路參數。由於各種干擾，這些參數不能維持為固定不變的值，總會有微小變化。若參數的微小變化，能引起電路響應的質的變化，則在該參數下的電路稱為結構不穩定的電路，反之稱為結構穩定的電路。例如設 RLC串聯電路中的電阻R的絕對值丨R丨極小。若R＞0，電路中的電壓、電流的波形是衰減振蕩波形，電路是穩定的；若R＜0,波形是增幅振蕩波形，電路是不穩定的。這兩種波形有質的不同。R＝0稱作參數R的分岔值。在分岔值的兩側，電路響應有質的變化。R＝0時的電路就是結構不穩定的。R≠0時的電路是結構穩定的。設某個帶反饋的放大電路可以將信號放大。增大放大器的放大倍數β,若它超過某個分岔值β0時，電路中激起振蕩。放大倍數為臨界值時的放大電路，是結構不穩定的；而β≠β0時的電路是結構穩定電路。電路參數剛好是分岔值的概率是零，因此實際電路總是結構穩定電路。但研究結構不穩定電路，對於了解電路性質的變化是有意義的。