交比
射影幾何學中射影不變數之一
交比（cross ratio）是射影幾何學中基本的射影不變數之一。一般是用共線的四個點來定義的，亦稱之為調和比。屬於射影幾何學。早在古希臘，數學家和天文學家就注意到這一比值的特性。約公元100年，門內勞斯在《球面學》中用到了球面上的大圓弧相交的一個性質，類似於截線的交比不變性，用圓弧所對角的正弦比值來表示。點列交比的公理化定義，共線四點A,B,C,D的齊次坐標分別為a,b,a+xb,a+yb,(A≠B),記（AB|CD）表示這四點構成的交比。對於一條圓錐曲線C,任取上面一個點P,那麼對於C上另外四個點，線束P(A,B,C,D)的交比取值同P的選取無關。於是，這個交比可以定義為圓錐曲線C上四點A,B,C,D的交比，同樣可以極為(AB|CD). 反之，我們也可以採用這裡的交比不變性作為圓錐曲線C的定義，也就是給定平面四個點A,B,C,D,其中任意三點不共線，那麼使得線束P(A,B,C,D)的交比取常數的P點軌跡是一條圓錐曲線。
交比（cross ratio）
射影幾何學中基本的射影不變數之一。一般是用共線的四個點來定義的，亦稱之為調和比。早在古希臘，數學家和天文學家就注意到這一比值的特性。約公元100年，門內勞斯在《球面學》中用到了球面上的大圓弧相交的一個性質，類似於截線的交比不變性，用圓弧所對角的正弦比值來表示。公元4世紀，帕波斯在《數學彙編》中明確闡述了一種交比的性質：設有四條線交於一點，則從一條線上的一點出發的截線所截點之間的交比相等。到19世紀，施泰納、施陶特等數學家已將交比作為他們的射影幾何理論的基本工具，證明了四個共線點的交比在射影變換下不變的特性。
點列交比的公理化定義，共線四點A,B,C,D的齊次坐標分別為記表示這四點構成的交比。定義為，.點偶AB叫做基點對，點偶CD叫做分點對。
若四點齊次坐標分別為可以證明，。其初等幾何意義為,注意右邊的線段長度是有向的。
交比具有射影不變性。
證明此性質，需要引入線束交比。類比點列交比的定義，我們可以自然的引入線束交比的定義。共點四線a,b,c,d,的齊次坐標為.記表示這四線構成的交比。定義為，
.同樣的，我們有：若四線齊次坐標分別為 ,可以證明， （1）。引入線束交比的初等幾何意義，我們可以從我們熟知的直角坐標系入手。設為一線束，記其斜率為,傾角為,有（1）式可得，.註：表示到的角，是有向的。
證明：交比是射影不變數。
證明（初等幾何的證明）：令線束O(a,b,c,d)分別交l於ABCD。.又考察各對應有向量方向相同，故原式成立。
由此可知，點列的交比與其對應線束的交比是相同的。保持線束不變，取另一直線l'交線束與A'B'C'D'.可視為對l作射影變換，,由此說明交比是射影不變數。
上述說明在歐式平面內存在諸多漏洞，例如若p1//l,則沒有交點。但是，在射影幾何完整的公理化體系中有無窮遠點和無窮遠直線，拓廣實數集等無窮元素來“彌補”。而這些元素更是射影幾何的精華。
如上是對交比的說明，接近其公理化定義。
補充：若交比為-1，則稱為調和比。以點列ABCD為例，稱此為調和點列，也稱點偶AB,CD相互調和共軛（調和分離），或稱D為ABC的第四調和點。
同樣，我們還可以定義圓錐曲線上四個點的交比。對於一條圓錐曲線C,任取上面一個點P,那麼對於C上另外四個點，線束的交比取值同P的選取無關。於是，這個交比可以定義為圓錐曲線C上四點A,B,C,D的交比，同樣可以極為. 反之，我們也可以採用這裡的交比不變性作為圓錐曲線C的定義，也就是給定平面四個點A,B,C,D,其中任意三點不共線，那麼使得線束的交比取常數的P點軌跡是一條圓錐曲線。