分枝定界

分枝界限法也能夠使用在混合整數規劃問題上，其為一種系統化的解法，以一般線性規劃之單形法解得最佳解后，將非整數值之決策變數分割成為最接近的兩個整數，分列條件，加入原問題中，形成兩個子問題(或分枝)分別求解，如此便可求得目標函數值的上限（上界）或下限（下界），從其中尋得最佳解。

分枝定界法是一個用途十分廣泛的演演算法，運用這種演演算法的技巧性很強，不同類型的問題解法也各不相同。分支定界法的基本思想是對有約束條件的最優化問題的所有可行解（數目有限）空間進行搜索。該演演算法在具體執行時，把全部可行的解空間不斷分割為越來越小的子集（稱為分支），並為每個子集內的解的值計算一個下界或上界（稱為定界）。在每次分支后，對凡是界限超出已知可行解值那些子集不再做進一步分支。這樣，解的許多子集（即搜索樹上的許多結點）就可以不予考慮了，從而縮小了搜索範圍。這一過程一直進行到找出可行解為止，該可行解的值不大於任何子集的界限。因此這種演演算法一般可以求得最優解。

將問題分枝為子問題並對這些子問題定界的步驟稱為分枝定界法。

對搜索樹上的某些點必須作出分枝決策，即凡是界限小於迄今為止所有可行解最小下界的任何子集（節點），都有可能作為分枝的選擇對象（對求最小值問題而言）。怎樣選擇搜索樹上的節點作為下次分枝的節點呢？有兩個原則：

1）從最小下界分枝（隊列式FIFO分枝限界法）：每次算完界限后，把搜索樹上當前所有葉節點的界限進行比較。找出限界最小的節點，此結點即為下次分枝的結點。

• 優點：檢查子問題較少，能較快地求得最佳解；

• 缺點：要存儲很多葉節點的界限及對應的耗費矩陣，花費很多內存空間。

2）從最新產生的最小下界分枝（優先隊列式分枝限界法）：從最新產生的各子集中選擇具有最小的下界的結點進行分枝。

優點：節省了空間；缺點：需要較多的分枝運算，耗費的時間較多。這兩個原則更進一步說明了，在演演算法設計中的時空轉換概念。分枝定界法已經成功地應用於求解整數規劃問題、生產進度表問題、貨郎擔問題、選址問題、背包問題以及可行解的數目為有限的許多其它問題。對於不同的問題，分枝與界限的步驟和內容可能不同，但基本原理是一樣的。

分枝界限法是組合優化問題的有效求解方法，其步驟如下所述：

步驟一：如果問題的目標為最小化，則設定目前最優解的值Z=∞。

步驟二：根據分枝法則（Branching rule），從尚未被洞悉（Fathomed）節點（局部解）中選擇一個節點，並在此節點的下一階層中分為幾個新的節點。

步驟三：計算每一個新分枝出來的節點的下限值（Lower bound，LB）。

步驟四：對每一節點進行洞悉條件測試，若節點滿足以下任意一個條件，則此節點可洞悉而不再被考慮：

• 此節點的下限值大於等於Z值。

• 已找到在此節點中，具最小下限值的可行解；若此條件成立，則需比較此可行解與Z值，若前者較小，則需更新Z值，以此為可行解的值。

• 此節點不可能包含可行解。

步驟五：判斷是否仍有尚未被洞悉的節點，如果有，則進行步驟二，如果已無尚未被洞悉的節點，則演算停止，並得到最優解。

Kolen等曾利用此方法求解含時間窗約束的車輛巡迴問題，其實驗的節點數範圍為6-15。當節點數為6時，計算機演算所花費的時間大約1分鐘（計算機型為VAZ11/785），當節點數擴大至12時，計算機有內存不足的現象產生，所以分枝定界法比較適用於求解小型問題。Held和Karp指出分枝定界法的求解效率，與其界限設定的寬緊有極大的關係。