子集
數理科學集合類概念
子集，是對於兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，就說集合A包含於集合B，或集合B包含集合A，也說集合A是集合B的子集。如B包含A，說明A是B的子集；或如A包含於B，也說明A是B的子集。如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，而集合B中至少有一個元素不屬於集合A，則稱集合A是集合B的真子集。空集是任何集合的子集。任何一個集合是它本身的子集。空集是任何非空集合的真子集。
對於兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含於集合B，或集合B包含集合A，也說集合A是集合B的子集。
空集是任何集合的子集。
任何一個正偶數都是自然數。就是說，正偶數集E的任何一個元素都是自然數集N的一個元素。
對於兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那麼集合A叫做集合B的子集。
讀作“A含於B”（或B包含A）。例如，上述的 如果A是B的子集，但A中至少有一個元素不屬於B，那麼A就是B的真子集，可記作
讀作“A不含於B”（或“B不包含A”）。
命題 1：空集是任意集合的子集。
子集
證明：給定任意集合 A，要證明Φ是 A 的子集。這要求給出所有Φ的元素是 A 的元素；但是，Φ沒有元素。
對有經驗的數學家們來說，推論 "Φ沒有元素，所以Φ的所有元素是 A 的元素" 是顯然的；但對初學者來說，有些麻煩。因為Φ沒有任何元素，如何使"這些元素"成為別的集合的元素？換一種思維將有所幫助。
為了證明Φ不是 A 的子集，必須找到一個元素，屬於Φ，但不屬於 A。因為Φ沒有元素，所以這是不可能的。因此Φ一定是 A 的子集。這個命題說明：包含是一種偏序關係。
命題 2：若 A，B，C 是集合，則：
自反性:
反對稱性: 且 當且僅當
傳遞性: 若 且 則
這個命題說明：對任意集合 S，S 的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。
命題 3：若 A，B，C 是集合 S 的子集，則：
存在一個最小元和一個最大元： (thatis Proposition 1 above.)
存在並運算: 若 且 則
存在交運算: 若 且 則
這個命題說明：表述 " " 和其他使用並集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。
命題 4: 對任意兩個集合 A 和 B，下列表述等價：
五、：對任意兩個集合 A 和 B，下列所有表述等價：
●
●
●
● (當) ；（當A∩B≠∅）
●
六、假設非空集合A中含有n個元素，則有：
● A的子集個數為2。
● A的真子集的個數為2-1。
● A的非空子集的個數為2-1
● A的非空真子集的個數為2-2。
談起子集，特別要注意的是空集，記住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集，如空集就不是空集的真子集，故空集是任何非空集合的真子集。然後要知道，如果一個集合的元素有n個，那麼它的子集有2的n次方個（注意空集的存在），.非空子集有2的n次方減1個，真子集有2的n次方減1個，非空真子集有2的n次方減2個。
基本信息
- 中文名
- 子集
- 外文名
- subset
- 符號
- 若∀a∈A，均有a∈B，則A⊆B。
- 應用類型
- 集合
- 應用領域
- 數理科學
- 表示
- ∀a∈A，均有a∈B，則A⊆B
- 記作
- A ⊆ B
- 特例
- 空集是任何集合的子集