集合

集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象匯總成的集體，這些對象稱為該集合的元素。

例如全中國人的集合，它的元素就是每一個中國人。我們通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，則稱x屬於S，記為x∈S。若y不是集合S的元素，則稱y不屬於S，記為y∉S。一般的我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集。

假設x

①[x，y] ：方括弧表示包括邊界，即表示x到y之間的數以及x和y；

②(x，y)：小括弧是不包括邊界，即表示大於x小於y。

基數

集合中元素的數目稱為集合的基數，集合A的基數記作card(A)。當其為有限大時，集合A稱為有限集，反之則為無限集。

地位

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集合在數學領域具有無可比擬的特殊重要性。集合論的基礎是由德國數學家康托爾在19世紀70年代奠定的，經過一大批卓越的科學家半個世紀的努力，到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位，可以說，現代數學各個分支的幾乎所有成果都構築在嚴格的集合理論上。

集合分類

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空集

有一類特殊的集合，它不包含任何元素，如{x|x∈R x²+1=0} ，我們稱之為空集，記為∅。

空集是個特殊的集合，它有2個特點：

● ● 空集∅是任意一個非空集合的真子集。

● ● 空集是任何一個集合的子集。

子集

設S，T是兩個集合，如果S的所有元素都屬於T ，即則稱S是T的子集，記為。顯然，對任何集合S ，都有。其中，符號

讀作包含於，表示該符號左邊的集合中的元素全部是該符號右邊集合的元素。

如果S是T的一個子集，即，但在T中存在一個元素x不屬於S ，即，則稱S是T的一個真子集。

相等

如果兩個集合S和T的元素完全相同，則稱S與T兩個集合相等，記為S=T 。顯然我們有

其中符號

稱為當且僅當，表示左邊的命題與右邊的命題相互蘊含，即兩個命題等價。

並交集

並集定義：由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，記作A∪B（或B∪A），讀作“A並B”（或“B並A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。並集越並越多。

交集定義：由屬於A且屬於B的相同元素組成的集合，記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。交集越交越少。

若A包含B，則A∩B=B，A∪B=A。

補集

相對補集定義：由屬於A而不屬於B的元素組成的集合，稱為B關於A的相對補集，記作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x∉B'}。

絕對補集定義：A關於全集合U的相對補集稱作A的絕對補集，記作A'或∁u（A）或~A。有U'=Φ；Φ'=U。

冪集

定義：設有集合A，由集合A所有子集組成的集合，稱為集合A的冪集。

定理：有限集A的冪集的基數等於2的有限集A的基數次冪。

區間

數學分析中，最常遇到的實數集的子集是區間。

設a，b(a不等式a

表示法

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表示集合的方法通常有三種。

列舉法

列舉法就是將集合的元素逐一列舉出來的方式。例如，光學中的三原色可以用集合{紅，綠，藍}表示；由四個字母a,b,c,d組成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。

列舉法還包括儘管集合的元素無法一一列舉，但可以將它們的變化規律表示出來的情況。如正整數集

和整數集

可以分別表示為 和。

描述法

其形式為{代表元素|滿足的性質}。

設集合S是由具有某種性質P的元素全體所構成的，則可以採用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合：S={x|P(x)}。

例如，由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x=2}。

而有理數集

和正實數集 則可以分別表示為 和。

韋恩圖（Venn 圖，又叫圖像法）

用一條封閉的曲線內部表示一個集合的方法。

符號法

有些集合可以用一些特殊符號表示，比如：

N：非負整數集合或自然數集合{0,1,2,3,…}

N*或N+：正整數集合{1,2,3,…}

Z：整數集合{…,-1,0,1,…}

Q：有理數集合

Q+：正有理數集合

Q-：負有理數集合

R：實數集合(包括有理數和無理數）

R+：正實數集合

R-：負實數集合

C：複數集合

∅ ：空集（不含有任何元素的集合）

特性

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確定性

給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。

互異性

一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。

無序性

一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關係，定義了序關係后，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。

運算律

交換律：

德·摩根律：1.集合A與集合B的交集的補集等於集合A的補集與集合B的補集的並集; 2.集合A與集合B的並集的補集等於集合A的補集與集合B的補集的交集。

容斥原理（特殊情況）：

模糊集

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用來表達模糊性概念的集合，又稱模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某種屬性的對象的全體。這種屬性所表達的概念應該是清晰的，界限分明的。

因此每個對象對於集合的隸屬關係也是明確的，非此即彼。但在人們的思維中還有著許多模糊的概念，例如年輕、很大、暖和、傍晚等，這些概念所描述的對象屬性不能簡單地用“是”或“否”來回答，模糊集合就是指具有某個模糊概念所描述的屬性的對象的全體。

由於概念本身不是清晰的、界限分明的，因而對象對集合的隸屬關係也不是明確的、非此即彼的。這一概念是美國加利福尼亞大學控制論專家L.A.扎德於1965 年首先提出的。

模糊集合這一概念的出現使得數學的思維和方法可以用於處理模糊性現象，從而構成了模糊集合論（中國通常稱為模糊性數學)的基礎。