模糊數學

在生產實踐、科學實驗以及日常生活中，人們經常會遇到模糊概念(或現象)。例如，大與小、輕與重、快與慢、動與靜、深與淺、美與丑等都包含著一定的模糊概念。隨著科學技術的發展，各學科領域對於這些模糊概念有關的實際問題往往都需要給出定量的分析，這就需要利用模糊數學這一工具來解決。模糊數學是一個較新的現代應用數學學科，它是繼經典數學、統計數學之後發展起來的一個新的數學學科。統計數學是將數學的應用範圍從確定性領域擴大到了隨機領域，即從必然現象到隨機現象，而模糊數學則是把數學的應用範圍從確定性的領域擴大到了模糊領域，即從精確現象到模糊現象。在各科學領域中，所涉及的各種量總是可以分為確定性和不確定性兩大類。對於不確定性問題，又可分為隨機不確定性和模糊不確定性兩類。模糊數學就是研究屬於不確定性，而又具有模糊性的量的變化規律的一種數學方法。

現代數學是建立在集合論基礎之上的。集合論的重要意義就在於它能將數學的抽象能力延伸到人類認識過程的深處：用集合來描述概念，用集合的關係和運算表達判斷和推理，從而將一切現實的理論系統都納入集合描述的數學框架中。毫無疑問，以經典集合論為基礎的精確數學和隨機數學在描述自然界多種客觀現象的內在規律中，獲得了顯著的效果。但是，和隨機現象一樣，在自然界和人們的日常生活中普遍存在著大量的模糊現象，如多雲、陰滅、小雨、大雨、貧困、溫飽等。由於經典集合論只能把自己的表現力限制在那些有明確外延的現象和概念上，它要求元素對集合的隸屬關係必須是明確的，不能模稜兩可，因而對於那些經典集合無法反映的外延不分明的概念，以前人們都是盡量迴避它們。然而，隨著現代科技的發展，我們所面對的系統日益複雜，模糊性總是伴隨著複雜性出現；此外人文、社會學科及其他“軟科學”的數學化、定量化趨向，也把模糊性的數學處理問題推向中心地位；更重要的是，計算機科學、控制理論、系統科學的迅速發展，要求計算機要像人腦那樣具備模糊邏輯思維和形象思維的功能。凡此種種，迫使人們再也無法迴避模糊性，必須尋求途徑去描述和處理客觀現象中非清晰、非絕對化的一面。

1965年，美國控制論專家扎德Zadeh(Lotfi A．Zadeh)教授在Information and Control雜誌上發表了題為Fuzzy Sets的論文，提出用“隸屬函數”來描述現象差異的中間過渡，從而突破了經典集合論中屬於或不屬於的絕對關係。Zadeh教授這一開創性的工作，標誌著數學的一個新分支——模糊數學的誕生。

模糊數學的基本思想就是：用精確的數學手段對現實世界中大量存在的模糊概念和模糊現象進行描述、建模，以達到對其進行恰當處理的目的。

需要注意的是：模糊數學是以不確定性的事物為其研究對象的。模糊集合的出現是數學適應描述複雜事物的需要，Zadeh的功績在於用模糊集合的理論將模糊性對象加以確切化，從而使研究確定性對象的數學與不確定性對象的數學溝通起來，過去精確數學、隨機數學描述感到不足之處．就能得到彌補。

因此，模糊數學不是“模模糊糊”的，是非常嚴密的；此外，也不是什麼對象都要用模糊數學去討論。

現代計算機的計算速度及貯存能力幾乎達到了無與倫比的程度，它不僅可以解決複雜的數學問題，還可以參與控制太空梭等。既然計算機有如此威力，那麼為什麼在判斷和推理方面有時不如人腦呢？美國加利福尼亞大學Zadeh（扎德）教授仔細的研究了這個問題，以至於他在科研工作中經常迴旋與“人腦思維”、“大系統”與“計算機”的矛盾之中。1965年，他發表了論文《模糊集合論》“隸屬函數”這個概念來描述現象差異中的中間過渡，從而突破了古典集合論中屬於或不屬於的絕對關係。Zadeh教授這一開創性的工作，標誌著模糊數學這門學科的誕生。

模糊數學的研究內容主要有以下三個方面：

第一，研究模糊數學的理論，以及它和精確數學、隨機數學的關係。

查德以精確數學集合論為基礎，並考慮到對數學的集合概念進行修改和推廣。他提出用“模糊集合”作為表現模糊事物的數學模型。並在“模糊集合”上逐步建立運算、變換規律，開展有關的理論研究，就有可能構造出研究現實世界中的大量模糊的數學基礎，能夠對看來相當複雜的模糊系統進行定量的描述和處理的數學方法。

在模糊集合中，給定範圍內元素對它的隸屬關係不一定只有“是”或“否”兩種情況，而是用介於0和1之間的實數來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態。比如“老人”是個模糊概念，70歲的肯定屬於老人，它的從屬程度是 1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為 0，按照查德給出的公式，55歲屬於“老”的程度為0.5，即“半老”，60歲屬於“老”的程度0.8。查德認為，指明各個元素的隸屬集合，就等於指定了一個集合。當隸屬於0和1之間值時，就是模糊集合。

第二，研究模糊語言學和模糊邏輯。

人類自然語言具有模糊性，人們經常接受模糊語言與模糊信息，並能做出正確的識別和判斷。

為了實現用自然語言跟計算機進行直接對話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數學模型，才能給計算機輸入指令，建立合適的模糊數學模型，這是運用數學方法的關鍵。查德採用模糊集合理論來建立模糊語言的數學模型，使人類語言數量化、形式化。

如果我們把合乎語法的標準句子的從屬函數值定為1，那麼，其他近義的，以及能表達相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續數來表徵它從屬於“正確句子”的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進行定量描述，並定出一套運算、變換規則。現時，模糊語言還很不成熟，語言學家正在深入研究。

人們的思維活動常常要求概念的確定性和精確性，採用形式邏輯的排中律，即：非真即假，然後進行判斷和推理，得出結論。現有的計算機都是建立在二值邏輯基礎上的，它在處理客觀事物的確定性方面，發揮了巨大的作用，但是卻不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。

為了使計算機能夠模擬人腦高級智能的特點，就必須把計算機轉到多值邏輯基礎上，研究模糊邏輯。現時，模糊邏輯還很不成熟，尚需繼續研究。

第三，研究模糊數學的應用。

模糊數學是以不確定性的事物為其研究對象的。模糊集合的出現是數學適應描述複雜事物的需要，查德的功績在於用模糊集合的理論找到解決模糊性對象加以確切化，從而使研究確定性對象的數學與不確定性對象的數學溝通起來，過去精確數學、隨機數學描述感到不足之處，就能得到彌補。在模糊數學中，現今已有模糊拓撲學、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學、模糊邏輯學等分支。

模糊數學是一門新興學科，它已初步應用於模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判、系統理論、信息檢索、醫學、生物學等各個方面。在氣象、結構力學、控制、心理學等方面已有具體的研究成果。然而模糊數學最重要的應用領域是計算機智能，不少人認為它與新一代計算機的研製有密切的聯繫。

現時，世界上發達國家正積極研究、試製具有智能化的模糊計算機，1986年日本山川烈博士首次試製成功模糊推理機，它的推理速度是1000萬次/秒。1988年，我國汪培庄教授指導的幾位博士也研製成功一台模糊推理機——分立元件樣機，它的推理速度為1500萬次/秒。這表明我國在突破模糊信息處理難關方面邁出了重要的一步。

模糊數學是研究現實中許多界限不分明問題的一種數學工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊數學和模糊邏輯，能很好地處理各種模糊問題。

模式識別是計算機應用的重要領域之一。人腦能在很低的準確性下有效地處理複雜問題。如計算機使用模糊數學，便能大大提高模式識別能力，可模擬人類神經系統的活動。在工業控制領域中，應用模糊數學，可使空調器的溫度控制更為合理，洗衣機可節電、節水、提高效率。在現代社會的大系統管理中，運用模糊數學的方法，有可能形成更加有效的決策。

50年來，模糊數學的研究和應用取得了許多可喜的成就。它在科學技術領域和日常生活方面正在扮演著越來越重要的角色。值得一提的是，中國著名學者周海中徠教授曾指出：“模糊數學的誕生，是科學技術發展的必然結果，更是現代數學發展的必然產物。但就現狀而言，模糊數學的理論尚未成熟、體系還未形成，對它也還存在不同看法和意見；這些都有待日後完善和實踐檢驗。”

在美國，日本，法國等世界數學強國相繼研究模糊數學，並取得一些階段性的進展的同時，1976年中國開始注意模糊數學的研究，世界著名模糊學家考夫曼（A.kaufman,法國）、山澤（E.SanchZ.法國）、營野（日本）和美籍華人P.P.Z等先後來華講學，推動了我國模糊數學的高速發展，很快就擁有一支較強的研究隊伍。1980年成立了中國模糊集與系統協會。1981年，創辦《模糊數學》雜誌，1987年，創辦了《模糊系統與數學》雜誌。還出版過大量的頗有價值的論著。例如：汪培庄教授所著《模糊集與隨機集落影》，《模糊集合論及其應用》，張文修教授編著的《模糊數學基礎》等。1988年我國汪培庄教授指導幾位博士生研製成功了一台模糊推理機-----分立元件樣機。它的推理速度為1500萬次/秒，這表明中國在突破模糊信息處理難關方面邁出重要一步。中國科研人員在Fuzzy領域中取得了卓越成就。何新貴院士將Fuzzy方面的論文在國內外權威雜誌上發表。這標誌著中國研究已經達到國內外先進水平。至此，中國已成為全球四大模糊數學研究中心之一。（美國，西歐，中國，日本）

著名語言學家伍鐵平教授發表了經典論文《模糊語言初探》，引起了人文與社會科學界對模糊語言現象的關注和研究。伍鐵平教授是中國首先提出“模糊語言學”這一概念並從事具體的模糊語言現象研究的學者；模糊語言學是所有與模糊性有關的學科中最令人關注的學科之一。他撰寫的專著《模糊語言學》在業內影響很大，評價很高，多次獲獎。

2005年，是一個值得中國所有模糊研究人員和學者慶祝的一個豐收年，在這個豐收年裡有兩件值得慶祝的大事。

一，經國際模糊系統協會（IFSA）專家評審，最終確定授予中國四川大學副校長劉應明院士“FuzzyFellow獎”。“FuzzyFellow獎”是模糊數學領域的最高獎項，專門授予得到國際公認的，在模糊數學領域做出傑出貢獻的科學家。

二，2005年8月20日，中國運籌會Fuzzy信息與工程分會正式成立。Fuzzy信息與工程分會成立，是隸屬於全國兩大數學方向的一級學會之一------中國運籌會，表明Fuzzy數學在中國已取得了應有的地位，尤其是Fuzzy數學的創始人扎德教授的出席會議，中國運籌學會理事長，中國科學院數學與系統科學研究院副院長袁亞湘教授和廣州大學校長廖建設教授為學會揭牌，這給成立大會增添的極大的光彩。也極大的鼓舞了全國Fuzzy研究工作者。Fuzzy信息與工程分會的宗旨：在完善和加強Fuzzy集理論研究的同時，更側重於Fuzzy技術的應用和Fuzzy產品的開發研究。