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纖維化

數學術語

定義


纖維化是代數幾何的研究對象中最常見的一類幾何結構。
設f:X→B是兩個光滑代數簇之間的滿態射,且B的維數嚴格小於X的維數。設q∈B是任何一點, F是q在f下的原像。
如果對於B上每個點q, F的維數都是dimX-dimB, 則稱X有一個纖維化.
我們稱F是f的一條纖維. 由定義q=f(F). 如果F不是光滑的(即奇異纖維),就稱q是一個臨界點。
顯然,任何兩條纖維都不相交;X上任何一點都落在唯一的一條纖維里。
一個已知的結論是:臨界點的個數總是有限的。

相關


最常見的纖維化,是代數曲面的纖維化(簡稱曲面纖維化),即B是代數曲線, X是代數曲面。此時纖維 F的維數是1維,換句話說,F也是曲線。
這樣, X等於是一族纖維曲線“拼接”成的曲面,所以人們也把它稱為 family of curves. 有趣的是,每條纖維都具有相同的虧格。
此外,當B是射影直線時,臨界點一定存在。