懸鏈線
一種曲線
懸鏈線 (Catenary)指的是一種曲線，指兩端固定的一條(粗細與質量分佈)均勻、柔軟(不能伸長)的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，例如懸索橋等，因其與兩端固定的繩子在均勻引力作用下下垂相似而得名。
適當選擇坐標系后，懸鏈線的方程是一個雙曲餘弦函數，其標準方程為：y=a cosh(x/a)，其中，a為曲線頂點到橫坐標軸的距離。
懸鏈線
:y = a\cosh \frac
其中 ''a'' 是一個常數。
懸鏈線的證明
最低點處受水平向左的拉力H，右懸掛點處受一個斜向上的拉力T，設T和水平方向夾角為θ，繩子一半的質量為m,受力分析有：
Tsinθ=mg;
Tcosθ=H,
並且對於繩上任意一點有
tanθ=dy/dx=mg/H;
mg=ρs;
其中s是右半段繩子的長度,ρ是繩子密度，認為繩子截面積是1,帶入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧長公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx;
所以把s帶入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;.....(1)
對於(1)設p=dy/dx微分處理
得 p'=ρ/H*√(1+p^2)......(2)
p'=dp/dx;
對（2）分離常量求積分
∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx
得ln【p+√(1+p^2)】=ρx/H+C
當x=0時，dy/dx=p=0;帶入得C=0；
整理得ln【p+√(1+p^2)】=ρx/H；
1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2;
即p=【e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)】/2=dy/dx;
dy得y=H/(2ρ)*【e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)】 ；
如果令a=ρ/H的話
y=【e^(x/a)+e^(-x/a)】/(2a);
基本信息
- 中文名
- 懸鏈線
- 外文名
- Catenary
- 屬性
- 曲線
- 方程
- y=a cosh x/a
- 所屬學科
- 數學