費馬點
三角形的等角中心
在三角形的三邊各向其外側作等邊三角形，這三個等邊三角形的外接圓交於一點T，該點T即稱為托里拆利點（Torricelli's point ），而三個等邊三角形的外接圓稱為托里拆利圓。在一定條件下，托里拆利點和正等角中心、費爾馬點等是一回事。托里拆利點是由義大利物理學家托里拆利發現的。
該問題是費馬(1601-1665)作為“求一點，使它至一三角形三頂點的距離和最小"這一著名的極值問題而向義大利物理學家托里拆利(1608-1647)提出，並為托里拆利所解決的，當三角形內角均小於120°時點K即為所求，故稱K為托里拆利點，也稱費馬點。以後，德國斯太納((1796-1863)獨立提出並推廣了它，故又稱斯太納問題。
1.若三角形3個內角均小於120°，那麼3條距離連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120 °。所以三角形的費馬點也稱為三角形的 等角中心。
（托里拆利的解法中對這個點的描述是：對於每一個角都小於120°的三角形ABC的每一條邊為底邊，向外作正三角形，然後作這三個正三角形的外接圓。托里拆利指出這三個外接圓會有一個共同的交點，而這個交點就是所要求的點。這個點和當時已知的三角形特殊點都不一樣。這個點因此也叫做托里拆利點。）
2.若三角形有一內角大於等於120 °，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點。
3.在 的外側分別作正三角形，這三個正三角形的外接圓(托里拆利圓)相交於一點M，則點M稱為托里拆利點。三個內角皆小於120°的 的托里拆利點有如下特性：它到 三頂點的距離之和是三角形內點中到三頂點距離之和中最小的。
4.義大利學者托里拆利(E.Torricelli，1608-1647)，首先研究了托里拆利點的問題，因而得名。
5.在一定條件下，托里拆利點和正等角中心、費爾瑪點是同一點，只不過提出的角度不同。托里拆利點是從共點圓方面提出，正等角中心是從共點線方面提出，費爾瑪點則是從幾何極值方面提出的。
例1 在的邊上向形外(形內)作正，
證明：直線相交於一點，並求這個點的三線性坐標。
這個點叫做第一(第二)等角中心，第一等角中心也稱做托里拆利點或費馬點。
提示 點具有三線性坐標，其中上面的符號對應向外作三角形，下面的符號對應向內作三角形，所以直線用方程 給出，因此三線性坐標為的點是直線的交點。
費馬點
（1）根據定義，首先判斷給定三角形的三個內角是否均小於120°.
1.以任意半徑畫圓0，並作出圓的一條直徑AB。
2.以點A（或點B）為圓心，OA（或OB）為半徑畫出圓A（或圓B）
3.兩圓相交於C點，聯結AC，BC
4.則∠CBA或∠CAB為30°，∠C為90°，兩角相加即為120°
（2）若大於等於120°，則該鈍角頂點即為該三角形的費馬點
費馬點
1.以三角形任意一邊a向外做等邊三角形
2.找出該等邊三角形的外心，並作出外接圓
3.聯結a邊所對的兩個頂點(連接AD)
4.該連線與外接圓交點即為該三角形的費馬點
【步驟3證明】
1.如圖，E，B，D，C 四點共圓，，所以
2.弧BD所對的圓周角，所以
F為三角形ABC的費馬點，O為任意一點，則
費馬點的計算
法一：
如右圖，在△ABC中，P為其中任意一點。連接AP，BP，得到△ABP。
以 點B為旋轉中心，將 △ABP逆時針旋轉 60°，得到△EBD
∵旋轉60°，且BD=BP，
∴△DBP 為一個等邊三角形
∴PB=PD
因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC
由此可知當E、D、P、C 四點共線時，為PA+PB+PC最小
若E、D、P共線時，
∵等邊△DBP
∴∠EDB=120°
同理，若D、P、C共線時，則 ∠CPB=120°
∴P點為滿足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的點。
法二：
如圖，以△ABC三邊為邊向外作等邊△ABD、△BCE、△ACF，
費馬點
證明：在△ACD、△ABF中，
AD=AB
∠DAC=∠BAF
AC=AF
∴△ACD≌△ABF(SAS)
∴∠ADC=∠ABF
∴A、B、O、D四點共圓。
∴∠AOB=120°。
同理可得，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°。
過點A、B、C作OA、OB、OC的垂線交於三點R、S、T，易知△RST
是正三角形。
在△ABC內作異於O一點G，作RS、ST、RT的垂線GX、GY、GZ，連
接GA、GB、GC。
易用面積法得：OA+OB+OC=GX+GY+GZ。
∵點到線之間，垂線段最短，
∴OA+OB+OC=GX+GY+GZ
經過上述的推導，我們即得出了三角形中費馬點的找法：當三角形有一個內角大於或等於120°的時候，費馬點就是這個內角的頂點；如果三個內角都在120°以內，那麼，費馬點就是使得費馬點與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120°的點。另一種更為簡捷的證明：設O為三頂點連線最短點，以A為圓心AO為半徑做圓P。將圓P視作一面鏡子。顯然O點應該為B出發的光線經過鏡子到C的反射點（如果不是，反射點為O',就會有BO’+ CO' < BO+ CO，而AO’= AO，就會有 AO’+ BO’+ CO' < AO + BO + CO）。
Ps:費馬點是到三角形三個頂點距離的和最小的點；
∴點O是費馬點。
平面四邊形中費馬點證明相對於三角形中較為簡易，也較容易研究。
（1）在凸四邊形ABCD中，費馬點為兩對角線AC、BD交點P。
（2）在凹四邊形ABCD中，費馬點為凹頂點D（P）。
平面四邊形費馬點證明圖形
不失一般性。O點對於B、C為圓心的鏡子也成立。因此根據對稱性AO、BO、CO之間夾角都是120°
（補充說明：AO、BO、CO是每個鏡子的法線）
費馬點
而三角形的重心是到三角形三個頂點距離的平方和最小的點。
要有所區別
皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat）是一個17世紀的法國律師，也是一位業餘數學家。之所以稱業餘，是由於皮耶·德·費馬具有律師的全職工作。他的姓氏根據法文與英文實際發音也常譯為“費爾瑪”（注意“瑪”字）。費馬最後定理在中國習慣稱為費馬大定理，西方數學界原名“最後”的意思是：其它猜想都證實了，這是最後一個。
著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱皮耶·德·費馬為”業餘數學家之王“。貝爾深信，費馬比皮耶·德·費馬同時代的大多數專業數學家更有成就，然而皮耶·德·費馬並未在其他方面另有成就，本人也漸漸退出人們的視野，考慮到17世紀是傑出數學家活躍的世紀，因而貝爾認為費馬是17世紀數學家中最多產的明星。
費馬點問題最早是由法國數學家皮埃爾·德·費馬在一封寫給義大利數學家埃萬傑利斯塔·托里拆利（氣壓計的發明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀的數學家斯坦納重新發現了這個問題，並系統地進行了推廣，因此這個點也稱為 托里拆利點或 斯坦納點，相關的問題也被稱作 費馬-托里拆利-斯坦納問題。這一問題的解決極大推動了聯合數學的發展，在近代數學史上具有里程碑式的意義。
基本信息
- 中文名
- 托里拆利點
- 外文名
- Torricelli's point
- 提出時間
- 1643年
- 別名
- 正等角中心、費爾馬點、斯坦納點
- 提出者
- 義大利物理學家托里拆利
- 適用領域
- 數學
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