凸函數

注意：中國大陸數學界某些機構關於函數凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數學書中指凹函數。Concave Function指凸函數。但在中國大陸涉及經濟學的很多書中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的，也就是和數學教材是反的。舉個例子，同濟大學高等數學教材對函數的凹凸性定義與本條目相反，本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集，而同濟大學高等數學教材則是指其下方圖是凹集或凸集，兩者定義正好相反。

另外，也有些教材會把凸定義為上凸，凹定義為下凸。碰到的時候應該以教材中的那些定義為準。

凸函數是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函數f，而且對於凸子集C中任意兩個向量有。

於是容易得出對於任意（0,1)中有理數,有

。如果f連續，那麼可以改成任意（0,1）中實數。

若這裡凸集C即某個區間I，那麼就是：設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點和任意的實數，總有

則f稱為I上的凸函數，當且僅當其上境圖（在函數圖像上方的點集）為一個凸集

判定方法可利用定義法、已知結論法以及函數的二階導數，對於實數集上的凸函數，一般的判別方法是求它的二階導數，如果其二階導數在區間上非負，就稱為凸函數。（向下凸）如果其二階導數在區間上恆大於0，就稱為嚴格凸函數。

定義在某個開區間C內的凸函數f在C內連續，且在除可數個點之外的所有點可微。如果C是閉區間，那麼f有可能在C的端點不連續。

一元可微函數在某個區間上是凸的，當且僅當它的導數在該區間上單調不減。

一元連續可微函數在區間上是凸的，當且僅當函數位於所有它的切線的上方：對於區間內的所有x和y，都有。特別地，如果，那麼c是的最小值。

一元二階可微的函數在區間上是凸的，當且僅當它的二階導數是非負的；這可以用來判斷某個函數是不是凸函數。如果它的二階導數是正數，那麼函數就是嚴格凸的，但反過來不成立。例如，的二階導數是，當時為零，但是嚴格凸的。

更一般地，多元二次可微的連續函數在凸集上是凸的，當且僅當它的黑塞矩陣在凸集的內部是正定的。

凸函數的任何極小值也是最小值。嚴格凸函數最多有一個最小值。

對於凸函數f，水平子集是凸集。然而，水平子集是凸集的函數不一定是凸函數；這樣的函數稱為擬凸函數。

延森不等式對於每一個凸函數f都成立。如果X是一個隨機變數，在f的定義域內取值，那麼（在這裡，E表示數學期望。）

凸函數還有一個重要的性質：對於凸函數來說，局部最小值就是全局最小值。

定義1設在區間I上有定義,f(x)在區間I稱為是凸函數當且僅當:,有上式中則是嚴格凸函數的定義.

定義2設在區間I上有定義,在區間I稱為是凸函數當且僅當:

定義3設f（x）在區間I上有定義,f（x）在區間I稱為是凸函數當且僅當：,有

定義4在區間I上有定義，當且僅當曲線的切線恆保持在曲線以下，則成為凸函數。若除切點之外，切線嚴格保持在曲線下方，則稱曲線為嚴格凸的.

引理1定義2與定義3等價.

引理2若連續，則定義1，2，3等價.