向量子空間

設 是 的一個非空子集，若 中的元素滿足：

（1）若任意的，則；（對加法是封閉的）

（2）若任意的， （任意實數），則。（對數乘也是封閉的）

則稱集合 是 的一個子空間。

如果 是的一個子空間，則必有，即則子空間中必須包含“0向量”。

證明：

是 的子空間，非空，從而存在，由對數乘封閉， ，對加法封閉，所以

此性質是向量子空間的必要條件，如果 中沒有0向量，就不是 的子空間。而且一般來說，證明向量子空間中有0向量，可以說明子空間非空。

例1：為 中形如，為任意實數的集合，驗證 是 的一個子空間。

，所以 非空，任取

故由定義得，是 的一個子空間。

例2：設為全體實數的集合，是否分別是 的向量子空間，設

規律：凡是對 做一個齊次線性方程的約束的集合都是向量子空間，而作非齊次線性方程的集合則因為它不穿過原點，就不是向量子空間。

證明：任取

，

設

故是的向量子空間。而不是的向量子空間。因為不等於1，因此零向量不屬於。