自然坐標

坐標系沿質運軌建坐標系，質運軌取坐標，質刻置，坐標軌跡示，

坐標系，單矢量義：

、切單矢量，沿質軌切線；

2、法向單位矢量，垂直於在同一點的切向單位矢量而指向曲線的凹側。可見這兩個單位矢量的方向，也是隨質點位置的不同而不同的。

質點運動時，如果只有切向加速度，沒有法向加速度，那麼速度不改變方向而只改變大小，這就是變速直線運動。如果只有法向加速度，沒有切向加速度，那麼速度只改變方向而不改變大小，這就是勻速曲線運動。

自然坐標系不僅適用於平面運動，也可以用於三維空間的運動。不過在三維情況下，應該引入兩個法向單位矢量。

自然坐標系是一種動坐標系，本質上是一個質心坐標系(因為只有一個質點)，它隨著質點的運動而運動。其坐標原點為質點所在位置，3個坐標軸分別為切線軸t、法線軸n和副法線軸b。切線軸t的正向單位矢量i規定為質點絕對速度的方向，因為質點某時刻的絕對速度是客觀唯一的；法線軸n的正向單位矢量j規定為由質點沿法線指向曲率圓圓心的方向，顯然質點某時刻所行的曲率圓的圓心也是客觀唯一的；副法線軸b的正向單位矢量k規定為k=i×j，即自然坐標系3個坐標軸tnb恰好組成一右手直角坐標系。

坐標是決定質點在空間位置的一個數或一組數。當質點沿直線運動時，依該直線建立數軸，取質點初始位置為坐標原點，則只需一個數就可確定質點在t時刻的位置，這個數就是質點在t時刻的坐標。當質點沿平面曲線(非直線)運動時，需要兩個數才能確定質點在t時刻的位置，這兩個數就是質點在t時刻的坐標。當質點沿空間曲線(非平面曲線)運動時，需要三個數才能確定質點在t時刻的位置，這三個數就是質點在t時刻的坐標。當坐標系選定后，質點在t時刻的位置與坐標具有一一對應關係，一個坐標決定且只能決定一個位置，一個位置對應且只能對應一個坐標。顯然只有坐標系確定以後，才有質點的坐標。若坐標系不確定，則質點的坐標就不可能存在。這裡的坐標系是絕對靜止坐標系，它本質上是一個空間的標架，有了它，宇宙中任何一點的位置都可以唯一地確定。

假設在空間中給定一條曲線，點P沿著該曲線運動，為了確定點P在該曲線的位置，我們在曲線上任取一點O作為弧長計算的參考起始點，並給定一個方向為正方向。點P的每個位置對應著自己的弧長r，就像直角坐標軸上每個點都對應一個坐標值一樣。r取正值或者負值取決於弧長的參考方向，弧OP的長度等於|r|，如果r=r（t）是時間t的已知函數，則P點的運動就是給定的，這樣確定點的運動的方法稱為自然坐標法。

用自然坐標法來模擬和解決多體系統的動力學問題，推導出幾類典型剛體的廣義質量陣和對應的廣義外力。

多體系統不同形式的動力學模型主要取決於模擬系統的坐標選擇。在IMP等程序中採用相對坐標，即系統中的運動副或連接處所允許的相對運動所對應的坐標，其優點是描述系統所需的坐標數少。但由於運動約束是由迴路閉合條件給出，因此計算複雜。在ADAMS和DADS等程序中採用參考點坐標，即每一剛體的位置由其質心坐標和剛體的方位決定，但通常描述系統所需坐標數目很大。當方位用歐拉角表示時(如ADAMS中)，有時會出現解的奇異性，造成數值計算困難。雖用歐拉參數表示方位(如DADS中)能避免解的奇異性，但增加了坐標數，且物理意義不明確。近幾年，vilallonga和GaricadeaJln等提出了自然坐標法困，即用感興趣點的笛卡爾坐標和有關單位向量的三個笛卡爾分量來模擬剛體。此法描述系統直觀，引進約束方程方便，且常常是二次或線性的，因不引入角坐標，能避免解的奇異性，所需的坐標數適中，方法簡便。各類剛體的廣義質量陣和對應的廣義外力的形式規則，數值計算過程簡單，易於編程。