貝爾函數

在研究函數的連續性基礎上產生的一類重要的函數。R.L.貝爾於1899年提出如下的函數分類方法：以區間【0,1】上的函數為例,【0,1】上的連續函數稱為0類函數。0類函數序列點點收斂的極限函數，當它不是0類函數時，就稱為1類函數。1類函數序列點點收斂的極限函數，如果不是0類或1類的函數時，便稱為2類函數。依次對每一個自然數n，可以引入n類函數的概念。如果{ƒυ}，v=1,2,…,ƒυ是nυ類函數,{nυ}是自然數列的子序列,{ƒυ}點點收斂於ƒ(x)，當ƒ(x)不是任何n類函數(n是自然數),稱ƒ(x)是ω類函數。如此再繼續定義ω+1，ω+2，…類函數。用超限歸納法對一切序數η，都可以定義η類函數。所有這些類的函數統稱為貝爾函數，而貝爾函數的全體稱為貝爾函數類。【0，1】上的狄利克雷函數D（x）（它在有理點上取值為1，無理點上取值為零）不是1類函數，但,所以D(x)是2類函數。可以證明，當序數α<α1（α1是第一個不可列的序數）時,α類是不空的，但α1類是空集。另外，貝爾函數類的勢（或基數）與【0,1】的勢相等。但【0,1】上所有實函數的勢大於【0,1】的勢。因此定義在【0,1】上的函數中有很多不是貝爾函數。貝爾函數類的另一等價的定義是：包含連續函數全體且對點點收斂的極限運算封閉的最小函數類。

類似地，在n維空間與一般的拓撲空間也可引入貝爾函數類。

波萊爾集深入討論函數的連續性、可微性、可積性時必不可少的重要集類。設G、F分別表示 n維歐幾里得空間Rn中開集、閉集全體。凡是能表示成G（或F）中一列集{An}的交 (或和)的集的全體記為Gδ（或Fσ）。凡能表示成Gδ（或Fσ）中一列集{An} 的和（或交）的集的全體記為Gδσ(或Fσδ)，如此又繼續可以定義出新的集類Gδσδ、Fσδσ,…。同貝爾函數類一樣，對一切序數可用超限歸納法來依次定義新的集類。同樣可以證明：當序數α<α1時，上述定義能產生新類型的集，而從α1開始就不再產生新類型集了。由上述方式得到的每個集稱為Rn上的波萊爾集。波萊爾集全體稱為 Rn上波萊爾集類(也稱波萊爾域)，記為B(Rn)。波萊爾集類還有幾種等價的定義:B(Rn)是包含Rn中一切有限“立方體”的最小σ環；B(Rn)是包含Rn中一切開集的最小σ環；B( Rn)是包含Rn中一切閉集的最小σ環。（見測度論）

在一般拓撲空間中可類似地引入波萊爾集類。

貝爾函數與波萊爾可測函數 設ƒ是拓撲空間Χ上的實函數，如果對任何實數с,集｛x│ƒ(x)<с｝是波萊爾集，則稱ƒ是Χ上的波萊爾可測函數。Χ上的貝爾函數都是Χ上的波萊爾可測函數。同樣，設E是Χ的子集，如果E的特徵函數IE(即在E上值為1,E的余集上值為0的函數)是Χ上的貝爾函數，則稱E是貝爾集。貝爾集都是波萊爾集。當Χ=Rn時，波萊爾可測函數（波萊爾可測集）都是貝爾函數（貝爾集）。

解析集 深入研究直線上波萊爾集與勒貝格可測集的關係時發現的重要集類，它們在近代隨機過程中有廣泛的應用。設(Ω,F)是可測空間,E為緊的度量空間，記K(E)×F={A×F是E中的緊集,F∈F},(K(E)×F)σδ是K(E)×F中的集作可列和后再進行可列交的運算而得到的集類。設B∈(K(E)×F)σδ,稱B在Ω上的投影Ⅱ(B)為Ω中的F解析集。它們的全體記為φ(F)。若用P表示(Ω,F)上的概率測度全體,Fp(p∈P)表示F用p作完全化擴張而得到的σ代數，則利用喬格的容度理論可證明。

特別，當E=Rn，n=1,2…，Ω=【0,1】，F=B【0,1】時,EX【0,1】上的波萊爾集在【0,1】上的投影是解析集，並且φ(F)是【0,1】上勒貝格可測集類的真子集。