點到直線距離
點到直線距離
點到直線距離是連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，這條垂線段的長度。目標在於通過對點到直線距離公式的推導，提高學生對數形結合的認識，加深用“計算”來處理“圖形”的意識。
一、總公式：
設直線 的方程為，點 P 的坐標為，則點 P 到直線 的距離為：
同理可知，當,直線的解析式為時，則點到直線的距離為：
考慮點與空間直線，有二、引申公式：
公式①：設直線的方程為直線的方程為則兩條平行線之間的間距：
公式②：設直線的方程為直線的方程為：則兩條直線的夾角
(1)理解點到直線距離公式的推導過程，並且會使用公式求出定點到定直線的距離；
(2)了解兩條平行直線的距離公式，並能推導平方過程與方法目標：
過程與方法目標
(1)通過對點到直線距離公式的推導，提高學生對數形結合的認識，加深用“計算”來處理“圖形”的意識；
(2)把兩條平行直線的距離關係轉化為點到直線距離。
定義法
證：根據定義，點到直線的距離是點P到直線l的垂線段的長，
設點P到直線的垂線為，垂足為，則的斜率為
則的解析式為
把l和l'聯立得l與l'的交點Q的坐標為
由兩點間距離公式得:
所以，公式得證。
二、函數法
證：點P到直線上任意一點的距離的最小值就是點P到直線的距離。在上取任意點用兩點的距離公式有為了利用條件上式變形一下，配湊係數處理得：
當且僅當時取等號所以最小值就是
三、不等式法
證：點P到直線上任意一點Q的距離的最小值就是點P到直線的距離。由柯西不等式：
當且僅當時取等號所以最小值就是
四、轉化法
證：設直線的傾斜角為過點P作PM∥軸交於M顯然所以
易得（圖2）或（圖3）
在兩種情況下都有所以
五、三角形法
證：P作PM∥軸交於M，過點P作PN∥軸交於N（圖4）
由解法三知；同理得
在中，PQ是斜邊上的高
六、參數方程法
證：過點作直線交直線於點Q。(如圖1)
由直線參數方程的幾何意義知，將代入得
整理后得
當時，我們討論與的傾斜角的關係：
當為銳角時（）有（圖2）
當為鈍角時（）有（圖3）
得到的結果和上述形式相同，將此結果代入①得
七、向量法
證：如圖五，設直線的一個法向量，Q直線上任意一點，則。從而點P到直線的距離為：
基本信息
- 中文名
- 點到直線距離
- 外文名
- Distance from a point to a line
- 特點
- 垂線段最短
- 主體
- 連接直線外一點與直線上各點
- 斜率
- -A/B