凸透鏡成像規律

凸透鏡：邊緣薄、中間厚，至少要有一個表面製成球面，亦可兩面都製成球面。可分為雙凸、平凸及凹凸透鏡三種。

凹透鏡：邊緣厚、中間薄，至少要有一個表面製成球面，亦可兩面都製成球面。可分為雙凹、平凹及凸凹透鏡三種。

凸透鏡主要對光起會聚作用。

凹透鏡主要對光起發散作用。

凸透鏡是折射成像，成的像可以是倒立、縮小的實像；倒立、等大的實像；倒立、放大的實像；正立、放大的虛像。對光線起匯聚作用。

凹透鏡是折射成像，只能成正立、縮小的虛像。對光線起發散作用。

規律1：當物距大於2倍焦距時，則像距在1倍焦距和2倍焦距之間，成倒立、縮小的實像。此時像距小於物距，像比物小，物像異側。

應用：照相機、攝像機。

規律2：當物距等於2倍焦距時，則像距也在2倍焦距，成倒立、等大的實像。此時物距等於像距，像與物大小相等，物像異側。

應用：測焦距。

規律3：當物距小於2倍焦距、大於1倍焦距時，則像距大於2倍焦距，成倒立、放大的實像。此時像距大於物距，像比物大，物像異側。

應用：投影儀、幻燈機、電影放映機。

規律4：當物距等於1倍焦距時，則不成像，成平行光射出。

規律5：當物距小於1倍焦距時，則成正立、放大的虛像。此時像距大於物距，像比物大，物像同側。

應用：放大鏡。

記憶口訣

（1）一倍焦距分虛實，二倍焦距分大小，二倍焦點物像等。

實像總是異側倒。物近像遠像變大，物遠像近像變小。

虛像總是同側正。物遠像遠像變大，物近像近像變小。

像的大小像距定，像兒追著物體跑，物距像距和在變。

（2）一倍焦距分虛實，兩倍焦距分大小。物近像遠像變大，物遠像近像變小。

註：這裡所指的一倍焦距是說平行光源通過透鏡匯聚到主光軸的那一點到透鏡光心的距離，也可直接稱為焦距；兩倍焦距就是指該距離的兩倍

凸透鏡成像的兩個分界點：

2f點是成放大、縮小實像的分界點；f點是成實像、虛像的分界點。

薄透鏡成像滿足透鏡成像公式：

1/u(物距)+1/v（像距）=1/f（透鏡焦距）

註：透鏡成像公式是針對薄透鏡而言，所謂薄透鏡是指透鏡厚度在計算物距、像距等時，可以忽略不計的透鏡。當透鏡很厚時，必須考慮透鏡厚度對成像的影響。

（3）凸透鏡、把光聚，成象規律真有趣；

兩倍焦距分大小，一倍焦距分虛實；

二焦以外倒實小，我們用作照相機；

一二焦間倒實大，我們用作投影儀；

焦點以內正大虛，我們用作放大鏡；

欲想得到等實象，兩倍焦距物體放；

焦點之位不成像，點光可變平行光；

成象規律記心間，透鏡應用法無邊。物近（遠），像遠（近），像變大（小）。

（4）物進像退，像越退越大，大像總在小像后，同向移動。

（5）一焦分虛實，二焦分大小；虛像同側正，實像異側倒；物近像遠大，巧記活運用。

為了研究各種猜想，人們經常用光具座進行試驗

（1）實驗時應先調整凸透鏡和光屏的高度，使他們的中心與燭焰中心盡量保持在同一水平高度上，以保證燭焰的像能成在光屏的中央。

（2）實驗過程中，保持凸透鏡位置不變，改變蠟燭或光屏與凸透鏡的距離，觀察並記錄實驗現象。

根據實驗作透鏡成像光路：

①將蠟燭置於2倍焦距以外，觀察現象

②將蠟燭置於2倍焦距和1倍焦距之間，觀察現象

③將蠟燭置於一倍焦距以內，觀察現象

④作凸透鏡成像光路

5進行重複試驗（3-5次，尋找實驗的普遍規律）

實驗研究凸透鏡的成像規律是：當物距在一倍焦距以內時，得到正立、放大的虛像；（除物距等於焦距時，在此時不成像）在一倍焦距到二倍焦距之間時得到倒立、放大的實像；在二倍焦距以外時，得到倒立、縮小的實像。

人類的眼睛所成的像，是實像還是虛像呢？我們知道，人眼的結構相當於一個凸透鏡，那麼外界物體在視網膜上所呈的像，一定是實像。根據上面的經驗規律，視網膜上的物像似乎是倒立的。可是我們平常看見的任何物體，明明是正立的啊？這個與經驗與規律發生衝突的問題，實際上涉及到大腦皮層的調整作用以及生活經驗的影響。由於視覺錯誤，人眼認為光是由物體發出並直射入人眼。

當物體與凸透鏡的距離大於透鏡的焦距時，物體成倒立的像，當物體從較遠處向透鏡靠近時，像逐漸變大，像到透鏡的距離也逐漸變大；當物體與透鏡的距離小於焦距時，物體成放大的像，這個像不是實際折射光線的會聚點，而是它們的反向延長線的交點，用光屏接收不到，是虛像。平面鏡所成的虛像對比（不能用光屏接收到，只能用眼睛看到）。

照相機的鏡頭就是一個凸透鏡，要照的景物就是物體，膠片就是屏幕。照射在物體上的光經過漫反射通過凸透鏡將物體的像成在最後的膠片上；膠片上塗有一層對光敏感的物質，它在曝光后發生化學變化，物體的像就被記錄在膠捲上

而物距、像距的關係與凸透鏡的成像規律完全一樣。物體靠近時，像越來越遠，越來越大，最後再同側成虛像。物距增大，像距減小，像變小；物距減小，像距增大，像變大。一倍焦距分虛實，二倍焦距分大小。

放映機，幻燈機，投影機，放大鏡，探照燈，攝像機和攝像頭都應用了凸透鏡，凸透鏡完善了我們的生活，時時刻刻都應用在生活中。遠視眼鏡就是凸透鏡，近視眼鏡就是凹透鏡。

另外凸透鏡還用於：

1、拍攝、錄像

2、投影，幻燈，電影

3、用於特效燈光（聚焦成各種花色）

4、成虛像用於放大文字、工件、地圖等

光具座，光屏，刻度尺，凸透鏡

①將凸透鏡正對太陽

②讓光屏與凸透鏡在另一側承接光斑

③改變光屏與凸透鏡間的距離

④當光屏上的光斑最小，最亮時，固定凸透鏡。在白紙與凸透鏡的位置，用刻度尺（或利用圓規張角測出凸透鏡中心與光斑之間的距離，截取圓規張角間長度）再測量出此時凸透鏡中心與光斑之間的距離，此距離即為凸透鏡的焦距。

1.在陽光下有效，陰雨天氣放大鏡有可能不能形成光斑成像！

2.在強光下注意火苗，遠離可燃物，以防引發火災。

3.要使凸透鏡，光屏中心和蠟燭焰心在同一直線上。

當U>2F時V近似等於F

當物與像等大時U=V=2F

凸透鏡的成像規律是 1/u+1/v=1/f（即：物距的倒數與像距的倒數之和等於焦距的倒數。一共有兩種推導方法。分別為“幾何法”與“函數法”

【題】如右圖，用幾何法證明1/u+1/v=1/f。 【解】∵△ABO∽△A'B'O

∴AB:A'B'=u:v

∵△COF∽△A'B'F

∴CO:A'B'=f:(v-f)

∵四邊形ABOC為矩形

∴AB=CO

∴AB:A'B'=f:(v-f)

∴u:v=f:(v-f)

∴u(v-f)=vf

∴uv-uf=vf

∵uvf≠0

∴(uv/uvf)-(uf/uvf)=vf/uvf

∴1/f-1/v=1/u

即： 1/u+1/v=1/f

答

【題】如右圖，用函數法證明1/u+1/v=1/f。 【解】一基礎

右圖為凸透鏡成像示意圖。

其中c為成像的物體長度，d為物體成的像的長度。u為物距，v為像距，f為焦距。

步驟

（一）為便於用函數法解決此問題，將凸透鏡的主光軸與平面直角坐標系的橫坐標軸（x軸）關聯（即重合），將凸透鏡的理想折射面與縱坐標軸（y軸）關聯，將凸透鏡的光心與坐標原點關聯。則：點A的坐標為（-u,c），點F的坐標為（f,0），點A'的坐標為（v,-d），點C的坐標為（0，c）。

（二）將AA’，A'C雙向延長為直線l1,l2，視作兩條函數圖象。由圖象可知：直線l1為正比例函數圖象，直線l2為一次函數圖象。

（三）設直線l1的解析式為y=k1x,直線l2的解析式為y=k2x+b

依題意，將A(-u,c),C(0,c),F(f,0)代入相應解析式得方程組：

c=-u·k1

c=b

0=k2f+b

把k1,k2當成未知數解之得：

k1=-(c/u), k2=-(c/f)

∴兩函數解析式為：

y=-(c/u)x, y=-(c/f)x+c

∴兩函數交點A'的坐標（x,y)符合方程組

y=-(c/u)x

y=-(c/f)x+c

∵A'(v,-d)

∴代入得：

-d=-(c/u)v

-d=-(c/f)v+c

∴-(c/u)v=-(c/f)v+c=-d

∴(c/u)v=(c/f)v-c=d

cv/u=(cv/f)-c

fcv=ucv-ucf

fv=uv-uf

∵uvf≠0

∴fv/uvf=(uv/uvf)-(uf/uvf)

∴1/u=1/f-1/v

即： 1/u+1/v=1/f

一、

1.u>2f，倒立縮小的實像 f

簡記為：外中倒小實（或物遠像近像變小）

2.u=2f, 倒立等大的實像 v=2f 可用來測量凸透鏡焦距

簡記為：兩兩倒等實（或物等像等像不變）

3.2f>u>f 倒立放大的實像 v>2f 放映機，幻燈機，投影機

簡記為：中外倒大實（或物近像遠像變大）

4.u=f 不成像 平行光源 探照燈

簡記為：點上不成像（或物等焦距不成像）

5.u

簡記為：點內正大虛（或物小焦距像大虛）

註：u大於2f簡稱為遠——離凸透鏡遠一些；u小於2f且大於f簡稱為近——離凸透鏡近一些

二、

物三像二，小實倒；物二像三，倒大實；物與像同側正大虛。

物近像遠像變大，物遠像近像變小，1倍焦距分虛實，2倍焦距分大小。

三、

二環外，拾到小相機。

一二環間，拾到大投影。

一環內，打假正經。

註解：①二環外：二倍焦距以外。

②拾到：拾，諧音“實”，實像；到，諧音“倒”倒立。

③打：放大。

④假，同“虛”，虛像。

⑤經，諧音“鏡”，放大鏡。

應用例題

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例1 老奶奶用放大鏡看報時，為了看到更大的清晰的像，她常常這樣做（ ）

A．報與放大鏡不動，眼睛離報遠些

B．報與眼睛不動，放大鏡離報遠一些

C．報與放大鏡不動，眼睛離報近一些

D．報與眼睛不動，放大鏡離報近一些

解析：放大鏡是凸透鏡，由凸透鏡成像實驗可以看出，當物體在一倍焦距以內的時候，物距越大，像距越大，像也越大。也可從成像原理得出結論，平行於主軸的光線不變，而隨著物體的遠離透鏡，過光心的光線越來越平緩，所以兩條光線的反向延長線交點就離透鏡越遠，像就越大。也就是在一倍焦距以內的時候，物體離焦點越近，像越大。所以答案為B。

例2 小明拿著一個直徑比較大的實驗用的放大鏡，伸直手臂觀看遠處的物體，他可以看到物體的像，下面說法中正確的是（ ）

A．射入眼中的光一定是由像發出的

B．像一定是虛像

C．像一定是倒立的

D．像一定是放大的

解析：放大鏡是凸透鏡，在手拿凸透鏡，並伸直了手臂看遠處的物體時，物距遠大於兩倍焦距，所以會成像在手內側稍大於一倍焦距處。而人的眼睛在一個手臂以外，所以進入人眼的光線肯定是折射光線匯聚成像后再分開的光線，我們看到就好像是從像發出的。這個像肯定是倒立縮小的實像。所以答案是C。而選項A中並非所有進入人眼的光線都是從像發出來的。

二、作為放映機鏡頭的應用

例3 在農村放映電影，試鏡頭時，發現屏上的影像小了一點，應當怎樣調整放映機（ ）

A．放映機離屏遠一些，膠片離鏡頭遠一些

B．放映機離屏遠一些，膠片離鏡頭近一些

C．放映機離屏近一些，膠片離鏡頭遠一些

D．放映機離屏近一些，膠片離鏡頭近一些

解析：這是一道凸透鏡的應用題，電影放映機鏡頭（凸透鏡）的焦距是不變的，根據凸透鏡成像規律，膠片距透鏡焦點的距離越近，屏上成的像越大，同時，屏離透鏡越遠。

凸透鏡成像，物體越靠近焦點，成的像越大，此時像離凸透鏡越遠（實像、虛像都有這個規律）。反過來，物體離凸透鏡越遠，成的實像越小，像越靠近焦點。凹透鏡成像，物體體離凹透鏡越遠，所成的像越小，像越靠近虛焦點。

從上述分析可知，本題的正確選項為B。

三、作為照相機鏡頭的應用

例4 某同學拍畢業合影后，想拍一張單身像。攝影師應採取的方法是（ ）

A．使照相機靠近同學，同時鏡頭往後縮，離膠片近些

B．使照相機靠近同學，同時鏡頭往前伸，離膠片遠些

C．使照相機遠離同學，同時鏡頭往後縮，離膠片近些

D．使照相機遠離同學，同時鏡頭往前伸，離膠片遠些

解析：照相機鏡頭相當於一個凸透鏡。鏡頭后是暗箱，膠片裝在暗箱底部，膠片相當於光屏；當拍完合影后，再拍單身像，像要變大。成像時要使像變大，物距應減小，同時增大像距，即拉長暗箱或使鏡頭前伸。從上述分析可知，本題的正確選項為B。

例5 用照相機拍攝水池底部的物體時，若保持照相機的位置不變，比較池中有水和無水兩種情況（假設兩種情況下，人眼看到的物體等大），則有水時（ ）

A．暗箱應略短一些，得到的像會略大些

B．暗箱應略短一些，得到的像會略小些

C．暗箱應略長一些，得到的像會略大些

D．暗箱應略長一些，得到的像會略小些

解析：根據照相機成像原理，當物距減小時，像距變大，要在膠片上得到物體清晰的像，應將暗箱適當縮短一些，同時，膠片上的像將比原來的像略大一些。

本例中，池水中有水時水池底部的物體由於光的折射看起來比實際位置偏高，當把水排掉無水后，池底的物體相對人來說變遠了，

如果仍然想在原來的位置用此照相機拍到這個物體清晰的照片，根據凸透鏡成實像時，物遠像近像變小，可知他應該調整照相機，使鏡頭后縮，暗箱應略短些．

反之有水時，物體由於光的折射看起來比實際位置偏高，物近像遠像變大，使鏡頭前移，暗箱應略長些，所得的像會略大些．故選C．

例6 測繪人員繪製地圖時，需要在空中的飛機上向地面照相，稱為航空攝影，若使用航空攝影照相機的鏡頭焦距為50mm，則底片到鏡頭的距離為（ ）

A．10mm之內

B．略小於50mm

C．略大於50mm

D．等於50mm

解析：航空攝影是指在飛機上向地面拍照，由於物體距離凸透鏡非常遠，可以看成從無限遠處入射的光線，它所成的像應當略大於焦距。故本題的正確選項為C。

【評註】解決有關照相機、幻燈機和放大鏡應用的問題都離不開凸透鏡成像規律。而掌握這些規律的最好方法就是畫圖，因此，同學們在課下應反覆畫物體在凸透鏡不同位置的成像光路圖，在這個基礎上熟練掌握知識點分析中所列的表格，再做這種問題就得心應手了。

例7（2014安徽合肥中考）物距OB為u，相距OB'為v，凸透鏡焦距為f。請用幾何方法求證 1/u+1/v=1/f。

解析：詳細解析請見本詞條 推導方法中的 幾何法。