立方差公式

立方差公式

立方差公式也是數學中常用公式之一,在高中數學中接觸該公式,且在數學研究中該式佔有很重要的地位,甚至在高等數學、微積分中也經常用到。立方差公式與立方和公式共稱為完全立方公式。

具體徠為:兩數的平方和加上兩數的積再乘以兩數的差,所得到的積就等於兩數的立方差。

用公式表達即:a-b=(a-b)(a+ab+b)

證明


初級證明

由於立方項不好拆分,但是我們學過,遇到高階項要盡量採用低階項來對其進行簡化處理,所以很容易想到a,同時由於對a降階的同時還要和b進行結合,所以很容易想到ab這樣一個加法項,因此對上式採取分別加和減一個ab項,得到下式,同時進行相應的合併
證得:

高級證明

因為
所以根據交換律法則:
證得:

公式推廣


類似的,我們有立方和公式及其推廣:
(1) a+b=(a+b)(a-ab+b)
n為大於零的奇數,r為中括弧內項的序數,後面括弧中各項式的冪之和都為n-1,a表示a的n次方。(n大於0且n不等於2)
解題時常用它的變形:
相應的,立方差公式也有變形
推廣: