傳遞函數

把具有線性特性的對象的輸入與輸出間的關係，用一個函數（輸出波形的拉普拉斯變換與輸入波形的拉普拉斯變換之比）來表示的，稱為傳遞函數。原是控制工程學的用語，在生理學上往往用來表述心臟、呼吸器官、瞳孔等的特性。

系統的傳遞函數與描述其運動規律的微分方程是對應的。可根據組成系統各單元的傳遞函數和它們之間的聯結關係導出整體系統的傳遞函數，並用它分析系統的動態特性、穩定性，或根據給定要求綜合控制系統，設計滿意的控制器。以傳遞函數為工具分析和綜合控制系統的方法稱為頻域法。它不但是經典控制理論的基礎，而且在以時域方法為基礎的現代控制理論發展過程中，也不斷發展形成了多變數頻域控制理論，成為研究多變數控制系統的有力工具。傳遞函數中的復變數s在實部為零、虛部為角頻率時就是頻率響應。

傳遞函數也是《積分變換》里的概念。對復參數s，函數f(t)*e^(-st)在（-∞，+∞）的積分，稱為函數f(t)的（雙邊）拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換（如果是在[0,+∞)內積分，則稱為單邊拉普拉斯變換，記作F(s)，這是個複變函數。

設一個系統的輸入函數為x(t），輸出函數為y(t)，則y(t)的拉氏變換Y(s)與x(t)的拉氏變換X(s)的商：W(s)=Y(s)/X(s)稱為這個系統的傳遞函數。

傳遞函數是由系統的本質特性確定的，與輸入量無關。知道傳遞函數以後，就可以由輸入量求輸出量，或者根據需要的輸出量確定輸入量了。

傳遞函數的概念在自動控制理論里有重要應用。

徠系統傳遞函數G(s)的特徵可由其極點和零點在 s複數平面上的分佈來完全決定。用D(s)代表G(s)的分母多項式，M(s)代表G(s)的分子多項式，則傳遞函數G(s)的極點規定為特徵方程D(s)=0的根，傳遞函數G(s)的零點規定為方程M(s)=0的根。極點（零點）的值可以是實數和複數，而當它們為複數時必以共軛對的形式出現，所以它們在s複數平面上的分佈必定是對稱於實數軸（橫軸）的。系統過渡過程的形態與其傳遞函數極點、零點（尤其是極點）的分佈位置有密切的關係。

1960年以來關於能控性和能觀測性的研究表明，傳遞函數只是對系統內部結構的一種不完全的描述，只能表徵其中直接或間接地由輸入可控制和從輸出中可觀測到的那一部分。引入狀態空間描述（見狀態空間法），可彌補這種缺陷。