梅涅勞斯

梅涅勞斯

梅涅勞斯(Menelaus),提出了梅涅勞斯定理。他指出:如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交於F、D、E點,那麼AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。

定理


梅涅勞斯定理
證明:
過點A作AG‖BC交DF的延長線於G
AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG
梅涅勞斯
梅涅勞斯
三式相乘得:
AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立:若有三點F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上,且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,則F、D、E三點共線。利用這個逆定理,可以判斷三點共線。
另外,有很多人會覺得書寫這個公式十分煩瑣,不看書根本記不住,下面從別人轉來一些方法幫助書寫
1.ABC為三個頂點,DEF為三個分點
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
(頂到分/分到頂)*(頂到分/分到頂)*(頂到分/分到頂)=1
2.為了說明問題,並給大家一個深刻印象,我們假定圖1中的A、B、C、D、E、F是六個旅遊景點,各景點之間有公路相連。我們乘直升機飛到這些景點的上空,然後選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點遊玩,最後回到出發點,直升機就停在那裡等待我們回去。
我們不必考慮怎樣走路程最短,只要求必須“遊歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點,不能算是“遊歷”。

例證


例如直升機降落在A點,我們從A點出發,“遊歷”了其它五個字母所代表的景點后,最終還要回到出發點A。
另外還有一個要求,就是同一直線上的三個景點,必須連續游過之後,才能變更到其它直線上的景點。
從A點出發的旅遊方案共有四種,下面逐一說明:
方案 ① ——從A經過B(不停留)到F(停留),再返回B(停留),再到D(停留),之後經過B(不停留)到C(停留),再到E(停留),最後從E經過C(不停留)回到出發點A。
按照這個方案,可以寫出關係式:
(AF:FB)*(BD:DC)*(CE:EA)=1。
您知道應該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。
從A點出發的旅遊方案還有:
方案 ② ——可以簡記為:A→B→F→D→E→C→A,由此可寫出以下公式:
(AB:BF)*(FD:DE)*(EC:CA)=1。從A出發還可以向“C”方向走,於是有:
方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A,由此可寫出公式:
(AC:CE)*(ED:DF)*(FB:BA)=1。從A出發還有最後一個方案:
方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A,由此寫出公式:
(AE:EC)*(CD:DB)*(BF:FA)=1。
我們的直升機還可以選擇在B、C、D、E、F任一點降落,因此就有了圖1中的另外一些公式。
儘管圖1中列出了許多公式,但仍不是全部公式,還可以寫出一些來。
值得注意的是,有些公式中包含了四項因式,而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。當直升機降落在B點時,就會有四項因式。而在C點和F點,既會有三項的公式,也會有四項的公式。公式為四項時,有的景點會遊覽了兩次。
不知道梅涅勞斯當年是否也是這樣想的,只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。
是否可以說,我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些複雜的相除相乘的關係式,不會再寫錯或是記不住吧。