梅涅勞斯

梅涅勞斯定理

證明：

過點A作AG‖BC交DF的延長線於G

AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：

AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。

另外，有很多人會覺得書寫這個公式十分煩瑣，不看書根本記不住，下面從別人轉來一些方法幫助書寫

1.ABC為三個頂點，DEF為三個分點

(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

（頂到分/分到頂）*（頂到分/分到頂）*（頂到分/分到頂）=1

2.為了說明問題，並給大家一個深刻印象，我們假定圖1中的A、B、C、D、E、F是六個旅遊景點，各景點之間有公路相連。我們乘直升機飛到這些景點的上空，然後選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點遊玩，最後回到出發點，直升機就停在那裡等待我們回去。

我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“遊歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點，不能算是“遊歷”。

例如直升機降落在A點，我們從A點出發，“遊歷”了其它五個字母所代表的景點后，最終還要回到出發點A。

另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續游過之後，才能變更到其它直線上的景點。

從A點出發的旅遊方案共有四種，下面逐一說明：

方案 ① ——從A經過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之後經過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最後從E經過C（不停留）回到出發點A。

按照這個方案，可以寫出關係式：

（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。

您知道應該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。

從A點出發的旅遊方案還有：

方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式：

（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發還可以向“C”方向走，於是有：

方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式：

（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。從A出發還有最後一個方案：

方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式：

（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。

我們的直升機還可以選擇在B、C、D、E、F任一點降落，因此就有了圖1中的另外一些公式。

儘管圖1中列出了許多公式，但仍不是全部公式，還可以寫出一些來。

值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。當直升機降落在B點時，就會有四項因式。而在C點和F點，既會有三項的公式，也會有四項的公式。公式為四項時，有的景點會遊覽了兩次。

不知道梅涅勞斯當年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。

是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些複雜的相除相乘的關係式，不會再寫錯或是記不住吧。