量子統計法

全同粒子是指互換這類粒子並不導致系統出現新的狀態。全同粒子系統可分兩類，一類由對稱波函數描述的粒子所構成的系統，稱玻色系統。近獨立粒子玻色系統的每一個量子態上佔據的粒子數不限，這種粒子遵循的統計稱玻色統計，或稱玻色－愛因斯坦統計，是由S.玻色和A.愛因斯坦在1924年先後提出來的。另一類由反對稱波函數描述的粒子所構成的系統，稱費密系統。這種粒子必須遵循泡利不相容原理，每個量子態上至多只能有一個粒子，它們遵循的統計稱費密統計，或費密-狄喇克統計，是由E.費密和P.A.M.狄喇克在1926年先後提出的。

設近獨立全同粒子組成的系統具有確定的粒子數 N，能量E和體積V，以和分別表示單粒子的第i個能級和對應該能級的量子態數（簡併度）。①對於玻色系統，由於粒子的不可分辨和每個態上佔據的粒子數不限，則給定的個粒子分佈在個量子態的方式數，等於從個元素中選取個元素的組合數。考慮各能級的結果，就得到對應粒子數分佈的系統微觀狀態數

②對於費密系統，個不可分辨的全同粒子分佈在個狀態上（每個態上至多只能有一個粒子）的可能方式數，就是從 個元素中選取 個元素的組合數，應該等於，則對應粒子數分佈的系統微觀狀態數

若任一能級上的粒子數均遠小於該能級的量子態數,,即絕大多數量子態均未被佔據，則可以得到

這就過渡到了玻耳茲曼系統的微觀狀態數。

利用條件經過計算可得粒子數按能級的最可幾分佈為

此式分母中的正負號分別對應於費密系統和玻色系統。能級為的量子態p上的平均粒子數為

由條件可確定化學勢μ 對T和N 的依賴關係,

是對所有量子態求和。顯然，當時，費密分佈和玻色分佈都過渡到玻耳茲曼分佈，所以獨立的統計分佈只有費密分佈和玻色分佈兩種。

還可以知道，玻色統計中的化學勢總是負的，而光子氣體，由於N不是給定的常數，則μ應等於零。在玻耳茲曼統計中μ也總是負的，且絕對值很大。費密統計中μ可正可負。

在費密和玻色兩種分佈中，以T、V、μ為獨立變數的巨熱力勢為：

,

其中是巨配分函數（見巨正則系綜）。於是系統的熱力學性質都可根據熱力學公式求得。