快速傅里葉變換

有限長序列可以通過離散傅里葉變換(DFT）將其頻域也離散化成有限長序列。但其計算量太大，很難實時地處理問題，因此引出了快速傅里葉變換(FFT). 1965年，Cooley和Tukey提出了計算離散傅里葉變換（DFT）的快速演演算法，將DFT的運算量減少了幾個數量級。從此，對快速傅里葉變換（FFT）演演算法的研究便不斷深入，數字信號處理這門新興學科也隨FFT的出現和發展而迅速發展。根據對序列分解與選取方法的不同而產生了FFT的多種演演算法，基本演演算法是基2DIT和基2DIF。FFT在離散傅里葉反變換、線性卷積和線性相關等方面也有重要應用。

快速傅氏變換（FFT），是離散傅氏變換的快速演演算法，它是根據離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的演演算法進行改進獲得的。它對傅氏變換的理論並沒有新的發現，但是對於在計算機系統或者說數字系統中應用離散傅立葉變換，可以說是進了一大步。

設x(n）為N項的複數序列，由DFT變換，任一X（m）的計算都需要N次複數乘法和N-1次複數加法，而一次複數乘法等於四次實數乘法和兩次實數加法，一次複數加法等於兩次實數加法，即使把一次複數乘法和一次複數加法定義成一次“運算”（四次實數乘法和四次實數加法），那麼求出N項複數序列的X（m），即N點DFT變換大約就需要次運算。當N=1024點甚至更多的時候，需要N2=1048576次運算，在FFT中，利用WN的周期性和對稱性，把一個N項序列（設N=2k,k為正整數），分為兩個N/2項的子序列，每個N/2點DFT變換需要次運算，再用N次運算把兩個N/2點的DFT變換組合成一個N點的DFT變換。這樣變換以後，總的運算次數就變成。繼續上面的例子，N=1024時，總的運算次數就變成了525312次，節省了大約50%的運算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進行下去，直到分成兩兩一組的DFT運算單元，那麼N點的DFT變換就只需要Nlog2N次的運算，N在1024點時，運算量僅有10240次，是先前的直接演演算法的1%，點數越多，運算量的節約就越大，這就是FFT的優越性。

FFT的基本思想是把原始的N點序列，依次分解成一系列的短序列。充分利用DFT計算式中指數因子 所具有的對稱性質和周期性質，進而求出這些短序列相應的DFT並進行適當組合，達到刪除重複計算，減少乘法運算和簡化結構的目的。此後，在這思想基礎上又開發了高基和分裂基等快速演演算法，隨著數字技術的高速發展，1976年出現建立在數論和多項式理論基礎上的維諾格勒傅里葉變換演演算法(WFTA）和素因子傅里葉變換演演算法。它們的共同特點是，當N是素數時，可以將DFT算轉化為求循環卷積，從而更進一步減少乘法次數，提高速度。

FFT演演算法很多，根據實現運算過程是否有指數因子W可分為有、無指數因子的兩類演演算法。

有指數因子的演演算法

經典庫利-圖基演演算法 當輸入序列的長度N不是素數(素數只能被1而它本身整除）而是可以高度分解的複合數，即時，若，N=2則N點DFT的計算可分解為N=2×N/2，即兩個N/2點DFT計算的組合，而N/2點DFT的計算又可分解為N/2=2×N/4，即兩個N/4點DFT計算的組合。依此類推，使DFT的計算形成有規則的模式，故稱之為以2為基底的FFT演演算法。同理，當N=4時，則稱之為以4為基底的FFT演演算法。當時，稱為以和為基底的混合基演演算法。

在這些演演算法中，基2演演算法用得最普遍。通常按序列在時域或在頻域分解過程的不同，又可分為兩種：一種是時間抽取FFT演演算法（DIT），將N點DFT輸入序列x(n)、在時域分解成2個N/2點序列而和。前者是從原序列中按偶數序號抽取而成，而後者則按奇數序號抽取而成。DIT就是這樣有規律地按奇、偶次序逐次進行分解所構成的一種快速演演算法。

分裂基演演算法(RSFFT) 1984年由P．杜哈美爾和H．赫爾曼等導出的一種比庫利圖基演演算法更加有效的改進演演算法，其基本思想是在變換式的偶部採用基2演演算法，在變換式的奇部採用基4演演算法。優點是具有相對簡單的結構，非常適用於實對稱數據，對長度N=2能獲得最少的運算量(乘法和加法），所以是選用固定基演演算法中的一種最佳折衷演演算法。

計算離散傅里葉變換的快速方法，有按時間抽取的FFT演演算法和按頻率抽取的FFT演演算法。前者是將時域信號序列按偶奇分排，後者是將頻域信號序列按偶奇分排。它們都藉助於的兩個特點：一是周期性；二是對稱性，這裡符號*代表其共軛。這樣，便可以把離散傅里葉變換的計算分成若干步進行，計算效率大為提高。

時間抽取演演算法 令信號序列的長度為 N=2,其中 M是正整數，可以將時域信號序列 x( n)分解成兩部分，一是偶數部分 ，另一是奇數部分，於是信號序列 x( n）的離散傅里葉變換可以用兩個 N/2抽樣點的離散傅里葉變換來表示和計算。考慮到和離散傅里葉變換的周期性，式⑴可以寫成

⑶其中（4a）（4b）由此可見，式⑷是兩個只含有 N/2個點的離散傅里葉變換， G( k）僅包括原信號序列中的偶數點序列， H( k）則僅包括它的奇數點序列。雖然 ，但是 G( k）和 H( k）的周期都是 N/2，它們的數值以 N/2周期重複。

因為於是由式⑶和式⑷得到（5a）（5b)

因此，一個抽樣點數為 N 的信號序列 x( n）的離散傅里葉變換，可以由兩個 N/2抽樣點序列的離散傅里葉變換求出。依此類推，這種按時間抽取演演算法是將輸入信號序列分成越來越小的子序列進行離散傅里葉變換計算，最後合成為N點的離散傅里葉變換。

通常用圖1中蝶形演演算法的信號流圖來表示式⑸的離散傅里葉變換運算。例如， N=8=2的抽樣點的信號序列 x( n）的離散傅里葉變換，可用如圖2所示的FET演演算法的信號流圖來計算。

① N=2點的離散傅里葉變換的計算全由蝶形運算組成，需要 M級運算，每級包括 N/2個蝶形運算，總共有 個蝶形運算。所以，總的計算量為次複數乘法運算和 次複數加法運算。

②　FFT演演算法按級迭代進行，計算公式可以寫成

⑹ N抽樣點的輸入信號具有 N個原始數據 x0( n），經第一級運算后，得出新的 N個數據 x1( n），再經過第二級迭代運算，又得到另外 N個數據 x2( n），依此類推，直至最後的結果 在逐級迭代計算中，每個蝶形運算的輸出數據存放在原來存貯輸入數據的單元中，實行所謂“即位計算”，這樣可以節省大量存放中間數據的寄存器。

③　蝶形運算中加權係數隨迭代級數成倍增加。由圖2可以看出係數的變化規律。對於 N=8, M=3情況，需進行三級迭代運算。在第一級迭代中，只用到一種加權係數；蝶形運算的跨度間隔等於1。在第二級迭代中，用到兩種加權係數即、；蝶形運算的跨度間隔等於2。在第三級迭代中，用到4種不同的加權係數即、、、；蝶形運算的跨度間隔等於4。可見，每級迭代的不同加權係數的數目比前一級迭代增加一倍；跨度間隔也增大一倍。

④　輸入數據序列 x( n）需重新排列為 x(0）、 x⑷、 x⑵、 x⑹、 x⑴、 x⑸、 x⑶、 x⑺，這是按照二進位數的碼位倒置所得到的反序數，例如 N=8中數“1”的二進位數為“001”，將其碼位倒轉變為“100”，即為十進位數“4”。

頻率抽取演演算法　按頻率抽取的 FFT演演算法是將頻域信號序列 X( k）分解為奇偶兩部分，但演演算法仍是由時域信號序列開始逐級運算，同樣是把 N點分成 N/2點計算FFT，可以把直接計算離散傅里葉變換所需的 N次乘法縮減到次。

在 N=2的情況下，把 N點輸入序列 x( n）分成前後兩半

⑺

時間序列 x1( n）± x2( n）的長度為 N/2，於是 N點的離散傅里葉變換可以寫成

（8a)

（8b)

頻率信號序列 X（2l）是時間信號序列的 N/2點離散傅里葉變換，頻率信號序列 X（2l+1）是時間信號序列【 x1( n)- x2( n）】的 N/2點離散傅里葉變換，因此， N點離散傅里葉變換的計算，通過兩次加（減）法和一次乘法，從原來序列獲得兩個子序列，所以，頻率抽取演演算法也具有蝶形運算形式。以2為基數的FFT基本蝶形運算公式為

⑼

其計算量完全和時間抽取演演算法一樣，即只需次乘法運算和 Nlog2 N次加（減）法運算。圖3 表示 N=8=2點的離散傅里葉變換的信號流圖。由圖可見，它以三級迭代進行即位計算，輸入數據是按自然次序存放，使用的係數也是按自然次序，而最後結果則以二進位反序存放。

實際上，頻率抽取演演算法與時間抽取演演算法的信號流圖之間存在著轉置關係，如將流圖適當變形，可以得出多種幾何形狀。

除了基2的FFT演演算法之外，還有基4、基8等高基數的FFT演演算法以及任意數為基數的FFT演演算法。

計算量小的顯著的優點，使得FFT在信號處理技術領域獲得了廣泛應用，結合高速硬體就能實現對信號的實時處理。例如，對語音信號的分析和合成，對通信系統中實現全數字化的時分制與頻分制(TDM/FDM)的復用轉換，在頻域對信號濾波以及相關分析，通過對雷達、聲納、振動信號的頻譜分析以提高對目標的搜索和跟蹤的解析度等等，都要用到FFT。可以說FFT的出現，對數字信號處理學科的發展起了重要的作用。