鏈式法則
鏈式法則
因存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x>x0)f(x)=H(x0)所以f(x)在點x0可導，且f'(x0)=H(x0)引理證畢。設u=φ(x)在點u0可導，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導，則複合函數F(x)=f(φ(x))在x0可導，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)證明：由f(u)在u0可導，由引理必要性，存在一個在點u0連續的函數H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0) 又由u=φ(x)在x0可導，同理存在一個在點x0連續函數G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)於是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)。
鏈式法則（chain rule），是求複合函數導數的一個法則。若h(x)=f(g(x)) 則h'(x)=f'(g(x))g'(x)
1
(1)求函數 f(x) = (x^2 + 1)^3的導數。設 g(x) = x^2 + 1，h(x) = x^3.
f'(x)=h'(g(x))g'(x)
=[3(g(x))^2](2x)
=[3(x^2+1)^2](2x)
=6x(x^2+1)^2
(2)求函數arctg sin x 的導數。
arctg sin x的導數
先證明個引理
f(x)在點X0可導的充要條件是在x0的某領域U(x0)內，存在一個在點x0連續的函數H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)從而f'(x0)=H(x0)
證明：
設f(x)在x0可導，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心領域)；
H(x)=f'(x0),x=x0
∵LIM(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)
∴H(x)在點x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
反之，設存在H(x),x∈U(x0),它在點x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
∵存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0)
∴f(x)在點x0可導，且f'(x0)=H(x0)
引理證畢。
設u=φ(x)在點u0可導，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導，則複合函數F(x)=f(φ(x))在x0可導，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證明：
由f(u)在u0可導，由引理必要性，存在一個在點u0連續的函數H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)
又由u=φ(x)在x0可導，同理存在一個在點x0連續函數G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)
於是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)
因為φ，G在x0連續，H在u0=φ(x0)連續，因此H(φ(x))G(x)在x0連續，再由引理的充分性可知F(x)在x0可導，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
y=f(u)在點u可導，u=g(x)在點x可導，則複合函數y=f(g(x))在點x0可導，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
證明：因為y=f(u)在u可導，則lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)
當Δu≠0，用Δu乘等式兩邊得，Δy=f'(u)Δu+αΔu
但當Δu=0時，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。
又因為Δx≠0,用Δx除以等式兩邊，且求Δx->0的極限，得
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx
=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx
=f'(u)lim(Δx->0)Δy/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx
又g(x)在x處連續(因為它可導),故當Δx->0時，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0
則lim(Δx->0)α=0
最終有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
複合函數的最初幾個高階導數為：
高階導數
基本信息
- 中文名
- 鏈式法則
- 外文名
- chain rule
- 應用學科
- 數學
- 適用領域
- 微積分、微分（求導）