特徵根

*+*+稱遞推列:(+)=(+)+征程。

微程

設征程*+*+=根，。

1若實根r1不等於r2

y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).

2若實根r1=r2

y=(c1+c2x)*e^(r1x)

3若有一對共軛復根（略）

數列：滿足An+2+s*An+1+t*An=0

則其對應的特徵方程為：x^2 +sx+t=0 ,設其兩根為α、β

1).當α≠β時，An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1)

2).當α＝β時，An=(kn+m)*α^(n-2)

其中k、m的值的求法，用A1、A2的值代入上面的通項公式中，建立方程組解之即可

(1).數列滿足：An+2 -4*An+1 +4An=0 ,A1=1 ,A2=2 ,求通項An

解：特徵方程為 (x-2)^2=0 ,所以α＝β＝2

設An=(kn+m)*α^(n-2)　，

所以(k+m)/2 = 1 ,(2k+m)=2 ,解得：k=2 ,m=0

所以An=(kn+m)*α^(n-2)=n*2^(n-1)

(2).裴波那契數列滿足：An+2 -An+1 -An=0 ,A1=1 ,A2=1 ,求通項An

解：特徵方程為 x^2 -x-1=0 ,所以α=(1-√5)/2 ,β=(1+√5)/2

設An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1)　，則有

k + m = 1 ,k*(1-√5)/2 + m*(1+√5)/2 = 1

解得：k=-(√5/5)*α ,m=(√5/5)*β

所以An= (√5/5)*β^n - (√5/5)*α^n

1 若特徵方程有兩個不等實根r1,r2則an=c1*r1^n+c2*r2^n

其中常數c1,c2由初始值a1=a,a2=b唯一確定。

(1) c1r1+c2r2=a;

(2) c1r1^2+c2r2^2=b

2 若特徵方程有兩個相等實根r1=r2=r

an=(c1+nc2)r^n

其中常數c1,c2由初始值唯一確定。

(1) a=(c1+c2)r

(2) b=(c1+2c2)r^2

對於常係數齊次線性微分方程組dX/dt=AX,當矩陣A的特徵根λi(i=1,…,r)的重數是ni(≥1),對應的mi個初等因子是(λ-λi)ki1,…,(λ-λi)kimi,ki1+…+kimi=ni時，它對應方程中ni個線性無關解，其結構形如Xi(t)=(P(i)1(t),…,P(i)n(t))'eλ()i,此時多項式P(i)j(t)的次數小於等於Mi-1,(Mi=max{ki1…,kimi}).由於Mi計算起來非常困難，本文利用相似矩陣的特點和Jordan標準型在Mi-1與ni-1之間找到了一個便於應用的多項式P(i)j(t)次數的上界，使計算起來更加方便和有效.