遞推數列

一些特殊的數列

（1）各項呈周期性變化的數列叫做周期數列（如三角函數）；

（2）各項相等的數列叫做常數列。（注意常數列是遞增數列和遞減數列的特殊情況。）

遞推公式：如果數列{a[n]}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。

用遞推公式表示的數列就叫做遞推數列

比如等比數列A=A*q 可以表示為：A=q*A

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做 等差數列（arithmetic sequence），等差數列可以縮寫為A.P.。這個常數叫做等差數列的 公差（common difference），公差通常用字母d表示。

由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的 等差中項（arithmetic mean）。

有關係：A=（a+b）/2

通項公式

a=a+(n-1)d

a=S-S(n≥2)

a=kn+b(k,b為常數)

求和公式

S=n(a+a)/2=n*a+n(n-1)d/2

S=(d/2)*n +(a-d/2)n

相關計算

1.等差數列:

通項公式a=a+(n-1)d （a：首項；d：公差；a第n項）

a=a+(k-1)d （a為第k項）

若a,A,b構成等差數列 則 A=(a+b)/2

2.等差數列前n項和:

設等差數列的前n項和為S

即 S=a+a+...+a;

那麼 S=n*a+n*(n-1)*d/2=n *d/2+(a-d/2)*n

還有以下的求和方法: 1,不完全歸納法 2 累加法 3 倒序相加法

且任意兩項a，a的關係為：

a=a+(n-m)d

它可以看作等差數列廣義的通項公式。

從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：

a+a=a+a-1=a+a-2=…=a+a-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有

a+a=a+a

S-1=(2n-1)a，S2+1=(2n+1)a+1

S，S-S，S-S，…，S-S…成等差數列，等等。

和=（首項+末項）×項數÷2

項數=（末項-首項）÷公差+1

首項=2和÷項數-末項

末項=2和÷項數-首項

設a,a,a為等差數列。則a為等差中項，則2a=a+a。

日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別

時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。

若為等差數列，且有a=m,a=n.則a(m+n)=0。

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做 等比數列（geometric sequence）。這個常數叫做等比數列的 公比（common ratio），公比通常用字母q表示。

等比數列可以縮寫為G.P.（Geometric Progression）。

如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那麼G叫做a與b的 等比中項。

有關係：G =ab；G=±(ab)

註：兩個非零同號的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以G =ab是a,G,b三數成等比數列的必要不充分條件。

通項公式

a=aq

a=S-S(n-1) (n≥2)

求和公式

當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為

S=a(1-q )/(1-q)=(a-a*q)/(1-q)(q≠1)

相關計算

1.等比數列:

通項公式 a=a*q （a1：首項；an：第n項）

a=a*q ,a=a*q

則a/a=q

(1)a=a*q

(2)a,G,b 若構成等比中項，則G =ab (a,b,G≠0)

(3)若m+n=p+q 則 aa=aa

2.等比數列前n項和

設 a,a,a...a構成等比數列

前n項和S=a+a+a...a

S=a+a*q+a*q +....a*q +a*q

這個公式雖然是最基本公式，但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導的，這時可能要直接從基本公式推導過去，所以希望這個公式也要理解。

S=a(1-q )/(1-q)=(a-a*q)/(1-q) （q≠1）

S=na （q=1）

求和一般有以下5個方法: 1,完全歸納法（即數學歸納法） 2 累乘法 3 錯位相減法 4 倒序求和法 5 裂項相消法

另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數后構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。

性質：

①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則aa=aa

②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列.

G是a、b的等比中項”“G =ab（G≠0）

(5) 等比數列前n項之和S=a(1-q )/(1-q)

在等比數列中，首項a1與公比q都不為零.

等比數列在生活中也是常常運用的。

如：銀行有一種支付利息的方式---複利。

即把前一期的利息和本金價在一起算作本金，

再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。

按照複利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。

（1）等比數列的通項公式是：a=a*q

若通項公式變形為a=a/q*q (n∈N*),當q>0時，則可把a看作自變數n的函數，點(n,a)是曲線y=a/q*q 上的一群孤立的點。

（2）求和公式：S=na(q=1)

S=a(1-q )/(1-q)

=(a-aq )/(1-q)

=a/(1-q)-a/(1-q)*q ( 即a-a )

(前提：q ≠ 1)

任意兩項a，a的關係為a=aq

（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： aa=aa=aa=…=aa，k∈{1,2,…,n}

（4）等比中項：a·a=a ，a則為a，a等比中項。

記π=aa…a，則有π=a2n-1，π=(a+1)2n+1

“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那麼這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。

對一個數列，如果其任意的連續k（k≥2）項的和都相等，我們就把此數列叫做等和數列

必定是循環數列

a=S-S （n≥2）

累和法（a-a=... a - a=... a-a=...將以上各項相加可得a）。

逐商全乘法（對於后一項與前一項商中含有未知數的數列）。

化歸法（將數列變形，使原數列的倒數或與某同一常數的和成等差或等比數列）。

在等差數列中，總有S S-S S-S

2(S-S)=(S-S)+S

即三者是等差數列，同樣在等比數列中。三者成等比數列

不動點法（常用於分式的通項遞推關係）

不動點法求數列通項

對於某些特定形式的數列遞推式可用不動點法來求

特殊數列的通項的寫法

1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------a=n

1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------a=1/n

2，4，6，8，10，12，14.......-------a=2n

1,3,5,7,9,11,13,15.....-------a=2n-1

-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------a=(-1)

1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------a=(-1)

1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------a=[(-1) +1]/2

1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------a=cos(n-1)π/2=sinnπ/2

9,99,999,9999,99999,......... ------a=10 -1

1,11,111,1111,11111.......--------a=[10 -1]/9

衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------a=[10 -1]*n/9,n為1-9的整數

1，4，9，16，25，36，49，.......------a=n^2

1,2,4,8,16,32......--------a=2

等差數列典型例題：

1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求S

解析：

S=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]

=1-1/(n+1)

大衍數列　0、2、4、8、12、18、24、32、40、50－－－－－－

通項式：

a=(n×n－1)÷2 (n為奇數)

a=n×n÷2 (n為偶數)

前n項和公式：

S = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n為奇數）

S = n(n+2)(2n-1)÷12 (n為偶數）

大衍數列來源於《乾坤譜》，用於解釋太極衍生原理。

斐波那契數列 1、1、2、3、5、8、13、21、……

通項式

F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2] - [(1-√5)/2] }

這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。

還可以發現 S-2 +S -1=Sn