錯位相減法
一種常用的數列求和方法
形如An=BnCn，其中{Bn}為等差數列，通項公式為bn=b1+(n-1)*d；{Cn}為等比數列，通項公式為cn=c1*q^(n-1)；對數列An進行求和，首先列出Sn，記為式（1）；再把所有式子同時乘以等比數列的公比q，即q·Sn，記為式（2）；然後錯開一位，將式（1）與式（2）作差，對從而簡化對數列An的求和。這種數列求和方法叫做錯位相減法。
錯徠位相減法是一種常用的數列求和方法。應用於等比數列與等差數列相乘的形式。
如果數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那麼這個數列的前n項和可用此法來求和。
【典例】：求和
當
當
∴
兩式相減得
化簡得
錯位相減法是數列求和的一種解題方法。在題目的類型中：一般是a前面的係數和a的指數是相等的情況下才可以用。
典例1：
求和：
分析：分兩種情況求解，當時為等差數列易求；當時利用錯位相減法即可求得。
徠解：
(1)當時， ；
(2)當時，①
①得，②
①-②得，
∴
綜上所述，
當時， ；
當時， ．
典例2：
求和解：
當時，
當時，
∴
∴兩式相減得：
化簡得：
典例3：
求和：
解：
①
①兩邊同時乘以
②
①-②得：
典例4：
已知數列中，，點在直線上。
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和。
解：
(1)∵點在直線上
∴,即
∴數列是以3為首項，以2為公差的等差數列
∴
(2)∵
∴
∴①
②
由①-②得
∴
以下進行一切通項公式為等差乘等比( )型數列的求和公式推導：
已知數列 的通項公式為
求其前n 項和 因為
用上式減下式，得
應用等比數列求和公式可得
兩邊均乘 得
展開整理得
最終得到
基本信息
- 中文名
- 錯位相減法
- 外文名
- Dislocation Subtraction
- 別名
- 錯位法
- 應用學科
- 數學
- 適用領域
- 代數、數列
- 表達式
- 1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]