數列

傳說古希臘畢達哥拉斯（約公元前570-約公元前500年）學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數。比如，他們研究過：

由於這些數可以用如右圖所示的三角形點陣表示，他們就將其稱為三角形數。

類似地，被稱為正方形數，因為這些數能夠表示成正方形。因此，按照一定順序排列的一列數稱為數列。

數列的函數理解：

①數列是一種特殊的函數。其特殊性主要表現在其定義域和值域上。數列可以看作一個定義域為正整數集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函數的觀點認識數列是重要的思想方法，一般情況下函數有三種表示方法，數列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法；b。圖像法；c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。

③函數不一定有解析式，同樣數列也並非都有通項公式。

數列的一般形式可以寫成

簡記為{an}。

數列中的項必須是數，它可以是實數，也可以是複數。

用符號{an}表示數列，只不過是“借用”集合的符號，它們之間有本質上的區別：1.集合中的元素是互異的，而數列中的項可以是相同的。2.集合中的元素是無序的，而數列中的項必須按一定順序排列，也就是必須是有序的。

（1）有窮數列和無窮數列：

項數有限的數列為“有窮數列”（finite sequence）；

項數無限的數列為“無窮數列”（infinite sequence）。

（2）對於正項數列：（數列的各項都是正數的為正項數列）

1）從第2項起，每一項都大於它的前一項的數列叫做遞增數列；如：1，2，3，4，5，6，7；

2）從第2項起，每一項都小於它的前一項的數列叫做遞減數列；如：8，7，6，5，4，3，2，1；

3）從第2項起，有些項大於它的前一項，有些項小於它的前一項的數列叫做擺動數列（搖擺數列）；

（3）周期數列：各項呈周期性變化的數列叫做周期數列（如三角函數）；

（4）常數數列：各項相等的數列叫做常數數列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。

（1）通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式，如。數列通項公式的特點：1）有些數列的通項公式可以有不同形式，即不唯一；2）有些數列沒有通項公式（如：素數由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。

（2）遞推公式：如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。數列遞推公式特點：1）有些數列的遞推公式可以有不同形式，即不唯一。2）有些數列沒有遞推公式，即有遞推公式不一定有通項公式。

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列（arithmetic sequence），這個常數叫做等差數列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n項和用Sn表示。等差數列可以縮寫為A.P.（Arithmetic Progression）。

an=a1+(n-1)d

其中，n=1時 a1=S1；n≥2時 an=Sn-Sn-1。

an=kn+b(k,b為常數) 推導過程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 則得到an=kn+b。

由三個數a，A，b組成的等差數列堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項（arithmetic mean）。有關係：A=(a+b)÷2。

倒序相加法推導前n項和公式：

Sn=a1+a2+a3 +·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)（n個）=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2。

等差數列的前n項和等於首末兩項的和與項數乘積的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

（1）任意兩項am，an的關係為：an=am+(n-m)d，它可以看作等差數列廣義的通項公式。

（2）從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N

（3）若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq。

（4）對任意的k∈N，有Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數列。

日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。若為等差數列，且有an=m，am=n，則am+n=0。其於數學的中的應用，可舉例：快速算出從23到132之間6的整倍數有多少個，演演算法不止一種，這裡介紹用數列算令等差數列首項a1=24（24為6的4倍），等差d=6；於是令an= 24+6(n-1)<=132 即可解出n=19。

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列（geometric sequence）。這個常數叫做等比數列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。

等比數列可以縮寫為G.P.（Geometric Progression）。

如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那麼G叫做a與b的等比中項。

註：兩個非零同號的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以是a、G、b三數成等比數列的必要不充分條件。

（其中首項是，公比是q）；

(n≥2)。

當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為：；

當q=1時，等比數列的前n項和的公式為：；

前n項和與通項的關係：；（n≥2）。

（1）若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則；

（2）在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列。

（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：

（4）等比中項：q、r、p成等差數列，則，則為等比中項。

記，則有。

另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底對數后構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。

(5) 等比數列前n項之和；

(6)任意兩項的關係為；

(7)在等比數列中，首項與公比q都不為零。

等比數列在生活中也是常常運用的。如：銀行有一種支付利息的方式---複利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。按照複利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。

“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那麼這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。

對一個數列，如果其任意的連續k（k≥2）項的和都相等，我們就把此數列叫做等和數列，它的性質是：必定是循環數列。