磁矩

磁矩是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場的磁鐵，會感受到力矩，促使其磁矩沿外磁場的磁場線方向排列。磁矩可以用矢量表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極指向指北極，磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩，載流迴路、電子、分子或行星等等，都具有磁矩。

科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子。一般磁性物質的磁場，其泰勒展開的多極展開式，由於磁單極子項目恆等於零，第一個項目是磁偶極子項、第二個項目是磁四極子（quadrupole）項，以此類推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增遠，磁偶極矩部分會變得越加重要，成為主要項目，因此，磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內，磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同。

一個載流循環的磁偶極矩是其所載電流乘以迴路面積：

其中，為磁偶極矩，為電流，為面積矢量。磁偶極矩、面積矢量的方向是由右手定則決定。

處於外磁場的載流循環，其感受到的力矩和其勢能與磁偶極矩的關係為：

，，其中，為力矩，為磁場，為勢能。

許多基本粒子，例如電子，都具有內稟磁矩。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源，許多物理現象也和此有關。這種磁矩和經典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有關，必須用量子力學來解釋。這些內稟磁矩是量子化的，最小的基本單位，常常稱為“磁子”（magneton）。例如，電子自旋的磁矩與玻爾磁子的關係式為：

，其中，為電子自旋的磁矩，電子自旋g因子是一項比例常數，為玻爾磁子，為電子的自旋，是約化普朗克常數。

在任何物理系統里，磁矩最基本的源頭有兩種：

• 電荷的運動，像電流，會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈（或者所有的電荷的位置和速度），理論上就可以計算出磁矩。

• 像電子、質子一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數，可以用理論推導出來，得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度。例如，電子磁矩的測量值是−9.284764×10焦耳/特斯拉。磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向（電子磁矩的測量值是負值，這意味著電子的磁矩與自旋呈相反方向）。

整個物理系統的凈磁矩是所有磁矩的矢量和。例如，氫原子的磁場是以下幾種磁矩的矢量和：

• 電子的自旋。

• 電子環繞著質子的軌域運動。

• 質子的自旋。

再舉個例子，構成條形磁鐵的物質，其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的矢量和，是條形磁鐵的磁矩。

在原子中，電子因繞原子核運動而具有軌道磁矩；電子因自旋具有自旋磁矩；原子核、質子、中子以及其他基本粒子也都具有各自的自旋磁矩。這些對研究原子能級的精細結構，磁場中的塞曼效應以及磁共振等有重要意義，也表明各種基本粒子具有複雜的結構。

分子的磁矩就是電子軌道磁矩以及電子和核的自旋磁矩構成的( μ= μ+ μ = gp+gp )，磁介質的磁化就是外磁場對分子磁矩作用的結果。

粒子的內稟屬性。每種粒子都有確定的內稟磁矩。自旋為s的點粒子的磁矩μ由μ=g(e/2m)p給出，式中e和m分別是該粒子的電荷和質量，g是一個數值因子，p為自旋角動量。自旋為零的粒子磁矩為零。自旋為1/2的粒子，g=2；自旋為1的粒子，g=1；自旋為3/2的粒子，g=2/3。理論上普遍給出g=1/s。

粒子磁矩可通過實驗測定。但實驗測定結果並不與此相符，其間差別稱為反常磁矩。對於自旋均為1/2的電子、μ子、質子和中子，精確測定其g因子分別為

電子 g=1.001159652193（10）

μ子 g=1.001165923（8）

質子 g=2.792847386（63）

中子 g=－1.91304275（45）

粒子反常磁矩的來源有二：一是量子電動力學的輻射修正，電子、μ子屬於這種情形，即使是點粒子，粒子產生的電磁場對其自身的作用導致自旋磁矩的微小變化，這一改變可以嚴格地用量子電動力學精確計算，結果與實驗測定符合得很好；另一是由於粒子有內部結構和強相互作用的影響，質子和中子屬於這種情形，質子和中子的反常磁矩用於分析其內部結構。

在一個載流迴路中，磁矩大小是電流乘以迴路面積：u=I×S；

其中，u為磁矩，I 為電流，S 為面積。

磁矩方向則為電流繞行方向右手定則所決定的方向。

載流迴路在磁場中所受力矩M與磁矩的關係為：

M=u×B 其中，B 為磁感應強度。

許多基本粒子(例如電子)都有內稟磁矩，這種磁矩和經典物理的磁矩不同，必須使用量子力學來解釋它，和粒子的自旋有關。而這種內稟磁矩即是許多在宏觀之下磁力的來源，許多的物理現象也和此有關。這些內稟磁矩是量子化的，也就是它有最小的基本單位，常常稱為“磁子”(magneton)或磁元，例如電子自旋磁矩的矢量絕對值即和玻爾磁子成比例關係：

其中為電子自旋磁矩，電子自旋g因子 gs是一項比例常數，為玻爾磁子， s為電子的自旋角動量。

在原子物理學和核子物理學里，磁矩的大小標記為，通常測量單位為玻爾磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩關係到粒子的自旋，和/或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩：

欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度。

磁偶極子的磁場線。從側面望去，磁偶極子豎立於繪圖的中央。

載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是，隨著距離的增遠，這些多極項目會更快速地減小，因此，在遠距離位置，只有偶極項目是磁場的顯要項目。

思考一個載有恆定電流 的任意局域迴路，其磁矢勢為

其中，是檢驗位置，是源頭位置，是微小線元素 的位置，是磁常數。

假設檢驗位置足夠遠， ，則表達式 可以泰勒展開為

其中，是勒讓德多項式，是 與 之間的夾角。

所以，磁矢勢展開為

思考 項目，也就是磁單極子項目：

由於閉合迴路的矢量線積分等於零，磁單極子項目恆等於零。

再思考 項目，也就是磁偶極子項目：

注意到磁偶極矩為，偶極磁矢勢可以寫為

偶極磁場 為

由於磁偶極子的矢勢有一個奇點在它所處的位置（原點），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為

其中，是狄拉克δ函數。

偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（hyperfine structure）。在天文學里，氫原子的超精細結構給出了21公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了3K背景輻射以外，宇宙瀰漫最廣闊的電磁輻射。從複合紀元（recombination）至再電離紀元（reionization）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。

給予幾個磁偶極矩，則按照疊加原理，其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總矢量和。

處於均勻磁場的一個方形載流循環。

如圖右，假設載有電流 的一個方形循環處於外磁場。方形循環四個邊的邊長為，其中兩個與 平行的邊垂直於外磁場，另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為。

垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為

另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這循環的磁偶極矩為。所以，這循環感受到的磁力矩為

令載流循環的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持 不變，則這載流循環趨向於理想磁偶極子。所以，處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程表示。

當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值；當磁偶極矩與磁場平行時，磁力矩等於零。

一個多匝線圈（或螺線管）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的矢量和。對於全同匝（單層卷繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。

假設螺線管的匝數為，每一匝線圈面積為，通過電流為，則其磁矩為

電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子屬性，涉及到量子力學。詳盡細節，請參閱條目電子磁偶極矩（electron magnetic dipole moment）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如電子自旋共振。

電子的磁矩是

其中，是電子的朗德g因子，是玻爾磁子，是電子的自旋角動量。

按照前面計算的經典結果， ；但是，在狄拉克力學里， ；更準確地，由於量子電動力學效應，它的實際値稍微大些， 。

請注意，由於這方程內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，經典電磁學的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的正子（電子的反粒子），其磁矩與自旋呈相同方向。

在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的軌角動量總和，得到總軌角動量，最後用角動量耦合（angular momentum coupling）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩 與總角動量

其中，是原子獨特的朗德g因子。

磁矩對於磁場方向的分量 是

其中，是總角動量對於磁場方向的分量，是磁量子數，可以取2J+1個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。

因為電子帶有負電荷，所以 是負值。

處於磁場的磁偶極子的動力學，不同於處於電場的電偶極子的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著磁場線排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋進動，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程表達為

其中，是迴轉磁比率（gyromagnetic ratio） ，是磁場。

注意到這方程的左手邊項目是角動量對於時間的導數，而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分：

其中，是有效磁場（外磁場加上任何自身 是阻尼係數。

這樣，可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）：

方程右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動，第二個項目是阻尼項目，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程是研究磁化動力學最基本的方程之一。

核子系統是一種由核子（質子和中子）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量數據，更明確地，從核磁偶極矩的測量數據，可以研究這些量子性質。

雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態。每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，通過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子波函數的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。

任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出：

• 假若有未配對電子，則是其自旋所產生的磁矩（順磁性貢獻）

• 電子的軌域運動，處於基態時，所產生常與外磁場成正比的磁矩（抗磁性貢獻）

• 依照核自旋組態，核自旋所產生的總磁矩。

分子磁性範例

• 氧分子，O，由於其最外面的兩個未配對電子的自旋，具有強順磁性。

• 二氧化碳分子，CO，由於電子軌域運動而產生的，與外磁場成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下，假若這分子是由具磁性的同位素組成，像C或O，則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。

• 氫分子，H，處於一個弱磁場（或零磁場），會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體，正氫或仲氫，都具有這種物理性質。