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Hilbert

希爾伯特（David Hilbert，公元1862─公元1943）是德國著名的數學家，他出生於東普魯士哥尼斯堡，自1895年起任哥廷根大學（University of Goettingen）的終生職教授，1928年成為皇家學會會員。大體而言，他以在幾何和數學基礎上影響深遠的研究最為著名；希爾伯特綱領（Hilbert's Programme）促使可計算理論（Computability Theory）的發展。他收集了23個問題，現稱為希爾伯特問題（Hilbert's Problems），對二十世紀數學發展的進程產生了深遠的影響；其中仍有許多問題尚未解決。他的其成就包括環論的希爾伯特基底定理（Hilbert's Basis Theorem）、《幾何基礎》（Grundlagen der Geometrie），以及他對希爾伯特空間（Hilbert Space）理論和數論的研究。Hilbert（1862～1943），德國數學家，於代數不變數、代數數論、幾何基礎、變分法、Hilbert 空間等方面都有了不起的貢獻，堪稱他那時代最偉大的數學家。他提倡數學公理化，還有提出「Hilbert 問題」，對於二十世紀的數學發展影響甚大。

1數學貢獻 223個問題

數學貢獻

1862年 Hilbert 生於哥尼斯堡(Königsberg)（當時為東普魯士首都，二次大戰畫入俄羅斯版圖），1880年進入當地大學，1884年得博士學位，1886年起在該大學教書，1892年成為教授並成婚。1895年成為 Goettingen 大學教授，一直到過世為止。

Hilbert 做數學的特色是每一時期只專註於一個領域，把主要問題解決後，就轉往另一領域。

1884至1892年，Hilbert 專註於代數不變數，證明代數式之任一變換群的不變數，都有一組有限的基底，而且可以實際建構出來。1892至1898年則專註於代數數論，奠定了類體論的基礎。1898年開始專註於平面幾何公理化的問題，結果在次年完成《幾何的基礎》一書，為平面幾何建立了完整的公理化系統。1899到1901年則是 Hilbert 的變分法時期，以嚴格的證明，確立了Dirichlet 原理：在邊界曲線及邊界值有稍許限制下，有既定邊界值且有連續偏導的所有可能的函數中，會有某一個函數的雙重積分值會達到最小值。1902年，Hilbert 轉向積分方程，由此導出無窮維線性空間（Hilbert 空間），為隨後的量子物理學儲備了犀利的數學工具。

除了在各領域有傑出的成就外，Hilbert 將幾何嚴格公理化的想法很快普及到數學的各領域，而 Hilbert 自己也認真學習物理，想把物理的各分支公理化；不過他在物理學公理化方面的成就有限。

1922年，Hilbert 轉到研究公理化本身，希望證明一般的公理化系統在獨立性、一致性及完備性都不成問題。但1930年代，Gödel 的幾篇論文卻使這樣的希望未能完全實現。

此外，Hilbert 於1900年巴黎第二屆國際數學會議演講也深深影響了二十世紀數學的發展。他認為問題是數學活動的泉源，而問題有些來自經驗與自然現象，有些則因為要將一門學問做邏輯整合、一般化、特殊化而產生。這種理論與經驗的交互作用使得數學變得非常有用。他在此定名為「數學問題」的演講後半中，舉了23個有待二十世紀數學家來解決的問題，一一加以說明其背景。這就是著名的 Hilbert 問題，它們的確在二十世紀的數學發展中扮演很重要的角色。

Hilbert 對知識取得這件事一直是樂觀的，相應於哲學家 du Bois-Reymond 的悲觀說法：我們是無知的，而且我也會一直是無知的，Hilbert 提出了終身的信念則是：我們一定要知道，我們一定會知道。

70歲以後的 Hilbert 身體不太好，記憶也減退。有一天，Hasse 和 Hilbert 談起類體論，Hilbert 卻要求把類體論的基本概念及結果解釋給他聽，隨後 Hilbert 的反應卻是：這的確很漂亮，是誰發明的？

1933年希特勒當權，開始迫害猶太人，Hilbert 的故舊門生紛紛離開德國。Hilbert 變得孤獨，再也沒有活力，就此拖完餘生。

23個問題

希爾伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世紀上半葉德國乃至全世界最偉大的數學家之一。他在橫跨兩個世紀的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現代數學所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進了整個現代數學。希爾伯特是哥廷根數學學派的核心，他以其勤奮的工作和真誠的個人品質吸引了來自世界各地的年青學者，使哥廷根的傳統在世界產生影響。希爾伯特去世時，德國《自然》雜誌發表過這樣的觀點：現在世界上難得有一位數學家的工作不是以某種途徑導源於希爾伯特的工作。他像是數學世界的亞歷山大，在整個數學版圖上，留下了他那顯赫的名字。 1900年，希爾伯特在巴黎數學家大會上提出了23個最重要的問題供二十世紀的數學家們去研究，這就是著名的"希爾伯特23個問題"。

1975年，在美國伊利諾斯大學召開的一次國際數學會議上，數學家們回顧了四分之三個世紀以來希爾伯特23個問題的研究進展情況。當時統計，約有一半問題已經解決了，其餘一半的大多數也都有重大進展。

1976年，在美國數學家評選的自1940年以來美國數學的十大成就中，有三項就是希爾伯特第1、第5、第10問題的解決。由此可見，能解決希爾伯特問題，是當代數學家的無上光榮。

下面摘錄的是1987年出版的《數學家小辭典》以及其它一些文獻中收集的希爾伯特23個問題及其解決情況：

1．連續統假設 1874年，康托猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數，這就是著名的連續統假設。1938年，哥德爾證明了連續統假設和世界公認的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科亨證明連續假設和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨立的。因此，連續統假設不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內證明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個意義上已獲解決。

2．算術公理的相容性歐幾里得幾何的相容性可歸結為算術公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德爾發表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國數學家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術公理的相容性。

1988年出版的《中國大百科全書》數學卷指出，數學相容性問題尚未解決。

3．兩個等底等高四面體的體積相等問題

問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。

4．兩點間以直線為距離最短線問題此問題提得過於一般。滿足此性質的幾何學很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。

《中國大百科全書》說，在希爾伯特之後，在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題並未解決。

5.一個連續變換群的李氏概念，定義這個群的函數不假定是可微的這個問題簡稱連續群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？中間經馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、邦德里雅金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結果。

6.物理學的公理化希爾伯特建議用數學的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學。1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫實現了將概率論公理化。後來在量子力學、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。

7.某些數的無理性與超越性 1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨立地解決了問題的後半部分，即對於任意代數數α≠0 ，1，和任意代數無理數β證明了αβ 的超越性。

8.素數問題包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結果屬於陳景潤（1966），但離最解決尚有距離。目前孿生素數問題的最佳結果屬於陳景潤、陶哲軒、張益唐等人，張益唐證明了存在無窮多個差小於7000萬的素數對。

9．在任意數域中證明最一般的互反律該問題已由日本數學家高木貞治（1921）和德國數學家E.阿廷（1927）解決。

10．丟番圖方程的可解性能求出一個整係數方程的整數根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構成的一般演演算法判斷一個丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的演演算法不存在。

11．係數為任意代數數的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結果。

12．將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數有理域上去這一問題只有一些零星的結果，離徹底解決還相差很遠。

13．不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程七次方程的根依賴於3個參數a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個函數能否用二元函數表示出來？蘇聯數學家阿諾爾德解決了連續函數的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續可微函數的情形（1964）。但如果要求是解析函數，則問題尚未解決。

14．證明某類完備函數系的有限性這和代數不變數問題有關。1958年，日本數學家永田雅宜給出了反例。

15．舒伯特計數演算的嚴格基礎一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學不密切聯繫。但嚴格的基礎迄今仍未確立。

16．代數曲線和代數曲線面的拓撲問題這個問題分為兩部分。前半部分涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後半部分要求討論的極限環的最大個數和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式。蘇聯的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時極限環的個數不超過3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例（1979）。

17．半正定形式的平方和表示一個實係數n元多項式對一切數組(x1,x2,...,xn) 都恆大於或等於0，是否都能寫成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對的。

18．用全等多面體構造空間由德國數學家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決。

19．正則變分問題的解是否一定解析對這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結果。

20．一般邊值問題這一問題進展十分迅速，已成為一個很大的數學分支。目前還在繼續研究。

21．具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。

22．由自守函數構成的解析函數的單值化它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P.克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。

23．變分法的進一步發展出這並不是一個明確的數學問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀以來變分法有了很大的發展。

這23問題涉及現代數學大部分重要領域，推動了20世紀數學的發展。

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數學貢獻

23個問題

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