除環

除環

抽象代數中,除環(也稱為斜體)是一個非零環,其中每個非零元素a都具有乘法逆,即具有x·a=a·x的元素x。換句話說,一個環當且僅當單位組等於所有非零元素的集合的時候它是一個除環。除環是一種不可交換的環。

除環不同於域,只是因為它們的乘法不需要交換。然而,通過韋德伯恩的小定理,所有有限除環都是可交換的,因此是有限域。歷史上,除環有時被稱為域,而域稱為“交換域”。

除了零理想和本身之外,所有除環都是簡單的,即沒有雙面理想。

基本內容


除環(division ring),又譯反稱域(skew field)、斜體,是如下定義的一個環:
至少有一個非零元素,這些非零元素稱為單位(Unit)
非零元素都存在逆元素(左逆元素與右逆元素)
它和域(field)的分別在於除環不必要符合交換律。所有域都是除環。不符合交換律的除環,例子有四元數。