概念原理

概念原理――數學概念實質上是性質的集合，但不能隨便湊幾條性質來構成概念，必須遵守一定規律－概念原理。

1987年吳和琴為解決由沿用上千年的周期函數定義的不完備性而引發出的一系列錯誤定理的問題而提出了概念原理，即給下定義立的法。

概念原理包括三條規律:

一是概念的無矛盾性，保證言之有物，意指所提出概念的外延中確有其物，否則，外延為空集，建立的概念將毫無意義。

二是概念的獨立性，保證概念的簡練。

三是概念的完備性，保證不出現詞不達意。概念的完備性指的是相對於建立概念者的事先目的，建立概念者在提出概念之前，自己認為此建立的概念的外延中的每一個都應具有某種性質，當建立概念之後，確實能保證其每一個都具有此性質時，則說此概念相對於此性質是完備的。若建立概念者沒有事先標準化，也就無所謂完備性了。

概念作為數學理論和方法的基礎，若出現不完備性則會引發後續研究的一系列問題。如沿用上千年的周期函數的定義的不完備性導致該領域出現了一系列錯誤定理。模糊數學中的包含、相等、交、並運算等定義的不完備性導致了第四次數學危機。

概念的不完備性主要是由於人們開始時對事物了解不詳或由於疏忽造成的，主要通過構造反例證明。美國數學家B·R·蓋爾鮑姆和J·M·H·奧姆斯特德指出:“數學由兩大類——證明和反例組成。而數學發現也是朝著兩個主要目標——提出證明和構造反例。從科學性來講，反例就是推翻錯誤命題的有效手段。從教學上而言，反例能夠加深對正確結論的全面理解。”“一個數學問題用一個反例予以解決給人的刺激猶如一出好的戲劇。”

參看：函數周期性初論，王清印，吳和琴編著，煤炭工業出版社，1987：25-26

Counterexamples in Analysis (Dover Books on Mathematics) (Paperback) by B. R. Gelbaum (Author), J. M. H. Olmsted (Author) Dover Publications Inc. (12 May 2003)