微分動力系統

這意味著系統的某一狀態x(可寫作x∈R)在時刻t遵循這一規律演變為狀態 φt(x)。演變規律一般需滿足下述三個條件，即：①

(其中dist表示M上一拓撲度量)都將是M中的C浸入子微分流形，分別稱為Q 的穩定流形和非穩定流形。

曾經有一種推測認為,S 結構穩定，當且僅當它滿足①公理A:S 在非遊盪集Ω(S)上有雙曲構造，且Ω(S)有由奇點和周期軌道構成的稠密子集；②強勻斷條件：若Q1和Q2是S 的軌道嶅Ω(S)，則W-(Q1)與W+(Q2)恆勻斷相交，這意味著W-(Q1)和W+(Q2)在任一x∈W-(Q1)∩W+(Q2) 處的切空間張開成M在x處的切空間。這一推測是前述2維特徵性定理的推廣形式，它的充分性部分早已由C.魯賓孫驗證。關於必要性部分的證明主要須證明S在Ω(S)上有雙曲構造，目前尚只在低維情況下有部分答案。

另一種重要的穩定性是所謂Ω穩定性。S 叫做Ω穩定的，如果它在X(M)中有一鄰域Δ，使得只要X∈Δ，即有從Ω(S)到Ω(X)上的拓撲變換，把S在Ω(S)中的軌道映到X的軌道。若S是Ω穩定的，則它是否在Ω(S)上有雙曲構造，這個問題也還只有部分答案。顯然，結構穩定蘊涵Ω穩定。若n≥3，X(M)一般也沒有由Ω穩定系統組成的稠密子集。

關於這方面的研究，一個有用的工具可能是所謂聯繫於X∈X(M)的阻礙集Ob(X)。例如,s滿足公理A和強勻斷條件，當且僅當I(S)∪Ob(S)是空集，其中I(S)表示S的奇點集合在M中的內集。若Ob(S)非空，則存在關於S的極小歧變集。

離散系統設Diff(M)是M上由所有C微分同胚組成的集合，取C拓撲。對於f∈Diff(M)所產生的離散系統，可以與常微系統情況相平行地引入一些概念。例如f過一點x∈M的軌道是{f(x)|p=0,±1,±2,…}。如果f在Diff(M)中有一鄰域K，使得只要g∈K，就一定可找到一拓撲變換η:M→M滿足ηf=gη,則稱f為結構穩定的。

文獻上先出現有關微分同胚所產生的離散系統的論述，然後再擴充到常微系統，這種情況是頗為常見的。例如上述關於結構穩定的推測原是帕利斯和S.斯梅爾先就微分同胚提出，其充分性的驗證也是J.羅賓先就C微分同胚給出，然後經他人推廣到常微系統。但用扭擴辦法，從有關常微系統的成果也常可直接導至離散系統的成果，把後者作為前者的特例來處理。關於離散系統的研究也已延伸至半離散系統。

進展在微分動力系統的研究中，關心的是系統的性質（主要是整體性質）及其在擾動中的變化。在研究結構穩定與Ω穩定的同時，人們發現s∈X(M)的相圖不僅可能很複雜，而且在擾動中又可能變化多端，不管是隨機的還是確定性的，當S 有一鄰域不含有任何Ω穩定系統時，更顯得有此可能。這反映了自然界的一些混沌現象，因而受到關注。因此，從洛倫茨方程到呂埃爾-泰肯引進奇異吸引子概念，從費根鮑姆常數到倍周期分岔等一系列成果，推動了這個領域中計算機模擬、科學實驗和數學論證三方面相結合的研究。

70年代末以來，中國科學家錢學森致力於系統學和系統科學體系的建立。微分動力系統的理論成果可以為這一體系的形成作出貢獻。作為系統科學的一部分，微分動力系統這一數學分支須考察怎樣和其他部分相配合。在這方面微分動力系統尚處於亟待發展的階段。

參考書目

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Liao Shantao，Standard systems of differential equations and obstruction sets with applications to structural stability problems, in Proceedings of the 1983Beijing Symposium on Differentiaal Geometry and Differential Equations, Science Press, Beijing,1986.

G.I.Barenblatt，G.Iooss and D.D.Joseph(eds), Non-linear Dynamics and Turbulence, Pitman, Boston-London-Melbourne,1983.