黃金矩形

給定一個線段，如何把它分割成黃金分割比呢？古希臘人的方法是先做出一個黃金矩形（即其長與寬的比恰好為黃金分割比）：先作一個邊長為1的正方形ABCD，並連結一組對邊的中點E與F，把正方形如圖左右均分，再以F為圓心，FC長為半徑圓弧，交的FD延長線於G點，過G作垂線，交EC延長線於H。

此時得到的矩形ABHG就是黃金矩形了，而（利用畢氏定理）有了黃金矩形后，任何學過基本幾何作圖的人，都會把一段線分成黃金分割比了。

黃金矩形（Golden Rectangle）的短邊與長邊之比確切值為（√5-1)/2，在應用上一般取它的近似值0.618。

黃金分割數是無理數，這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。

黃金矩形(GoldenRectangle)的長寬之比確切值為(√5-1)/2

黃金分割數是無理數，前面的1024位為:

0.61803398874989484820458683436563811772030917980576

28621354486227052604628189024497072072041893911374

84754088075386891752126633862223536931793180060766

72635443338908659593958290563832266131992829026788

06752087668925017116962070322210432162695486262963

13614438149758701220340805887954454749246185695364

86444924104432077134494704956584678850987433944221

25448770664780915884607499887124007652170575179788

34166256249407589069704000281210427621771117778053

15317141011704666599146697987317613560067087480710

13179523689427521948435305678300228785699782977834

78458782289110976250030269615617002504643382437764

86102838312683303724292675263116533924731671112115

88186385133162038400522216579128667529465490681131

71599343235973494985090409476213222981017261070596

11645629909816290555208524790352406020172799747175

34277759277862561943208275051312181562855122248093

94712341451702237358057727861600868838295230459264

78780178899219902707769038953219681986151437803149

97411069260886742962267575605231727775203536139362

107673893764556060605922...

這是公元前六世紀古希臘數學家畢達哥拉斯所發現，後來古希臘美學家柏拉圖將此稱為黃金分割。這其實是一個數字的比例關係，即把一條線分為兩部分，此時長段與短段之比恰恰等於整條線與長段之比，其數值比為1.618:1或1:0.618，也就是說長段的平方等於全長與短段的乘積。0.618，以嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。

為什麼人們對這樣的比例，會本能地感到美的存在？其實這與人類的演化和人體正常發育密切相關。據研究，從猿到人的進化過程中，骨骼方面以頭骨和腿骨變化最大，軀體外形由於近似黃金矩形而變化最小，人體結構中有許多比例關係接近0.618，從而使人體美在幾十萬年的歷史積澱中固定下來。人類最熟悉自己，勢必將人體美作為最高的審美標準，由人及物，由物及人，推而廣之，凡是與人體相似的物體就喜歡它，就覺得美。於是黃金分割律作為一種重要形式美法則，成為世代相傳的審美經典規律，至今不衰！

近年來，通過a+美學定律研究發現了人體結構中有14個“黃金點”（物體短段與長段之比值為0.618），12個“黃金矩形”（寬與長比值為0.618的長方形）和2個“黃金指數”（兩物體間的比例關係為0.618)。

⑴肚臍：頭頂－足底之分割點；⑵咽喉：頭頂－肚臍之分割點；⑶、⑷膝關節：肚臍－足底之分割點；⑸、⑹肘關節：肩關節－中指尖之分割點；⑺、⑻乳頭：軀幹乳頭縱軸上這分割點；⑼眉間點：髮際－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；⑽鼻下點：髮際－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；⑾唇珠點：鼻底－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；⑿頦唇溝正路點：鼻底－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；⒀左口角點：口裂水平線左1/3與右2/3之分割點；⒁右口角點：口裂水平線右1/3與左2/3之分割點。

黃金矩形分割

1）作任意正方形ABCD．

2）取AB的中點N.

3）用圓規，以N為中心，以|CN|為半徑作弧．

4）延長射線AB直至與以上的弧相交於E點．

5）延長射線DC．

6）作線段EF⊥AE，並令射線DC與EF交於F點．

則ADFE為一黃金矩形．

人體中黃金矩形

⑴軀體輪廓：肩寬與臀寬的平均數為寬，肩峰至臀底的高度為長；⑵面部輪廓：眼水平線的面寬為寬，髮際至頦底間距為長；⑶鼻部輪廓：鼻翼為寬，鼻根至鼻底間距為長；⑷唇部輪廓：靜止狀態時上下唇峰間距為寬，口角間距為長；⑸、⑹手部輪廓：手的橫徑為寬，五指併攏時取平均數為長；⑺、⑻、⑼、⑽、⑾、⑿上頜切牙、側切牙、尖牙（左右各三個）輪廓：最大的近遠中徑為寬，齒齦徑為長。

⑴反映鼻口關係的鼻唇指數：鼻翼寬與口角間距之比近似黃金數；⑵反映眼口關係的目唇指數：口角間距與兩眼外眥間距之比近似黃金數。

0.618，作為一個人體健美的標準尺度之一，是無可非議的，但不能忽視其存在著“模糊特性”，它同其它美學參數一樣，都有一個允許變化的幅度，受種族、地域、個體差異的制約。

用同一人體的某一部位作為基準，來判定它與人體的比例關係的方法被稱為同身方法。分為三組：係數法，常指頭高身長指數，如畫人體有坐五、立七，即身高在坐位時為頭高的五倍、立位時為7或7.5倍；百分數法，將身長視為100%，身體各部位在其中的比例；兩分法：即把人體分成大小兩部分，大的部分從腳到臍，小的部分為臍到頭頂。標準的面型，其長寬比例協調，符合三庭五眼。三停是指臉型的長度，從頭部髮際到下頦的距離分為三等分，即從髮際到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下頦各分為一等分，各稱一停共三停；五眼是指臉型的寬度，雙耳間正面投影的長度為五隻眼裂的長度，除眼裂外、內此間距為一眼裂長度、兩側外眥角到耳部各有一眼裂長度.

醫學與0.618有著千絲萬縷的聯繫，它可解釋人為什麼在環境22至24℃時感覺最舒適。因為人的體溫為37℃與0.618的乘積為22.8℃，而且這一溫度中肌體的新陳代謝、生理節奏和生理功能均處於最佳狀態。科學家們還發現，當外界環境溫度為人體溫度的0.618倍時，人會感到最舒服．現代醫學研究還表明，0.618與養生之道息息相關，動與靜是一個0.618的比例關係，大致四分動六分靜，才是最佳的養生之道。醫學分析還發現，飯吃六七成飽的幾乎不生胃病。

高雅的藝術殿堂里，自然也留下了黃金數的足跡。畫家們發現，按0.618:1來設計腿長與身高的比例，畫出的人體身材最優美，而現今的女性，腰身以下的長度平均只佔身高的0.58，因此古希臘維納斯女神塑像及太陽神阿波羅的形象都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618，從而創造藝術美。難怪許多姑娘都願意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演員則在翩翩起舞時，不時地踮起腳尖。音樂家發現，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1時，奏出來的音調最和諧、最悅耳。

植物的葉子，千姿百態，生機盎然，給大自然帶來了美麗的綠色世界。儘管葉子形態隨種而異，但它在莖上的排列順序（稱為葉序），卻是極有規律的。有些植物的花瓣及主幹上枝條的生長，也是符合這個規律的。你從植物莖的頂端向下看，經細心觀察，發現上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5°角。如果每層葉子只畫一片來代表，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5°，以後二到三層，三到四層，四到五層……兩葉之間都成這個角度。植物學家經過計算表明：這個角度對葉子的採光、通風都是最佳的。葉子的排布，多麼精巧！葉子間的137.5°角中，藏有什麼“密碼”呢？我們知道，一周是360°，360°-137.5°=222.5°，而137.5°∶222.5°≈0.618。瞧，這就是“密碼”！葉子的精巧而神奇的排布中，竟然隱藏著0.618。

雕塑——維納斯女神，上半身和下半身比值接近0.618

建築——1.上海東方明珠電視塔，塔高468米，上球體到塔底部的距離大約是289米。兩者之比約為0.618。2.埃及金字塔，金字塔的底面的邊長與金字塔的高度之比接近於0.618。3.希臘巴特農神廟。

繪畫——蒙娜麗莎的微笑。各國的國旗都近似於黃金矩形，生活的紙為黃金矩形。