希爾伯特旅館

希爾伯特談“限”奇怪妙質：

設旅館，設限房，房客。客，訂房，“”，旅館，“房。”

設另旅館，設限房，房客。客，訂房。“題！”旅館。號房旅客移號房，號房旅客移號房，號房旅客移號房，繼續移。，客排騰空號房。

我們再設想一個有無限個房間的旅館，各個房間也都住滿了客人。這時又來了無窮多位要求訂房間的客人。“好的，先生們，請等一會兒。”旅館主人說。

於是他把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到4號房間，3號房間的旅客移到6號房間，如此等等，這樣繼續下去。現在，所有的單號房間都騰出來了，新來的無窮多位客人可以住進去，問題解決了！

此時，又來了無窮多個旅行團，每個旅行團有無窮多個旅客，只見這個老闆不慌不忙，讓原來的旅客1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……，k號房間客人搬到2k號。這樣，1號，3號，5號……所有奇數房間就都空出來了。

讓1號旅行團到3號，3^2號，3^3號，3^4號，…，3^k號。

讓2號旅行團到5號，5^2號，5^3號，5^4號，…，5^k號。

讓3號旅行團到7號，7^2號，7^3號，7^4號，…，7^k號。

讓4號旅行團到11號，11^2號，11^3號，11^4號，…，11^k號。

將所有奇素數排成一列，也是一個可列無窮集合，然後讓

1號旅行團到第1個素數的k次冪房間；

2號旅行團到第2個素數的k次冪房間；

3號旅行團到第3個素數的k次冪房間…這樣不僅安排下了所有旅客，而且空出了1，15，21，33，35……這些不能表示為奇素數的k次冪的房間。