複流形

具有復結構的微分流形。即它能被一族坐標鄰域(見微分流形)所覆蓋，其中每個坐標鄰域能與n維復空間Cn中的一個開集同胚，從而使坐標區域中的點具有復坐標 (z1,…,zn)，而對兩個坐標鄰域的重疊部分中的點，其對應的兩套復坐標之間的坐標變換是復解析的。稱n 為此複流形的復維數。一個n 維複流形也是2n維的(實)微分流形。

作為一維的複流形的黎曼面的研究有著悠久的歷史，而一般複流形的研究從20世紀40年代才開始。現在，它已成為近代數學中十分重要的概念和課題。

最簡單的複流形是複數平面C及復歐氏空間Cn。

考慮R3中的單位球面。它可以被球面分別去掉北極和南極所得到的兩個坐標鄰域所覆蓋。用關於北極的球極投影得到一個坐標映射，而關於南極的球極投影后再取共軛複數又得到另一個坐標映射。這樣，單位球面也構成一維複流形，稱為黎曼球面。

對復射影空間CPn描述如下：設Cn是復n+1維的歐氏空間，Cn\｛0｝是 Cn+1中非零點全體。對其中兩點 和,如存在α ∈C 使，則稱 Z1和Z2等價，(z嬼,…,z嬪)稱為此等價類的齊次坐標,CPn就是上述這種等價類的全體，它是n維複流形。事實上CP1和黎曼球面是同構的。

對CPn中的任一點p,Z=(z0,…,zn)是它的齊次坐標，那麼 是Cn中以原點為球心的單位球面S2n中的一點。由p點所確定的S2n上點的全體構成S2n中的大圓。因此CPn中的點也可看成S2n中的大圓的全體。

如在複流形M 上定義了一個下列復形式

的黎曼度量，其中是埃爾米特陣，則稱此度量為埃爾米特度量，稱具有埃爾米特度量的複流形為埃爾米特流形。複流形上總存在埃爾米特度量。

在埃爾米特流形中可引進一個二次外微分形式ω,稱為凱勒形式，它在復坐標下的局部表達式為

。

若dω＝0，即ω 是閉形式，稱埃爾米特流形為凱勒流形。

復歐氏空間Cn關於通常度量是凱勒流形。在復射影空間CPn中有著名的富比尼-施圖迪度量，描述如下：設P是CPn中任一點，它確定了S2n中的大圓。CPn在P點的任一切向量X可對應於球面S2n中與上述大圓正交的切向量塣，把塣 的長度定義為X的長度。就給出了CPn中的富比尼-施圖迪度量;CPn關於這個度量構成凱勒流形。任何黎曼面關於其上任何與復結構相容的黎曼度量也是凱勒流形。

如果在複流形M 上有一個黎曼度量，那麼由這個度量，對M 上任一點的每個二維平面可定義截面曲率(見黎曼幾何學)。如特取某點P處的二維切平面σ為全純截面，即n維復切空間TpM 的一維復子空間，則相應於σ的截面曲率，稱為全純截面曲率。前面例子中，復歐氏空間關於通常度量的全純截面曲率為零，復射影空間關於富比尼-施圖迪度量的全純截面曲率為正常數。

參考書目

S.Kobayashi and K.Nomizu,Foundations of differentia Geometry，Vol.2, John Wiley & Sons, New York,1969.