拉格朗日函數

在分析力學里，一個動力系統的拉格朗日函數，是描述整個物理系統的動力狀態的函數，對於一般經典物理系統，通常定義為動能減去勢能，以方程表示為其中，為拉格朗日量，為動能，為勢能。

在分析力學里，假設已知一個系統的拉格朗日函數，則可以將拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加運算，即可求得此系統的運動方程。

拉格朗日量是動能與勢能的差值：通常，動能的參數為廣義速度（符號上方的點號表示對於時間的全導數），而勢能的參數為廣義坐標，所以，拉格朗日函數的參數為。解析一個問題，最先要選擇一個合適的廣義坐標。然後，計算出其拉格朗日函數。假定這些參數（廣義坐標、廣義速度）都互相獨立，就可以用拉格朗日方程來求得系統的運動方程。

假設一個物理系統的拉格朗日量為，則此物理系統的運動，以拉格朗日方程表示為

其中，是時間，是廣義坐標，是廣義速度。

1.拉格朗日函數與作用量的關係

一個物理系統的作用量是一種泛函，以數學方程定義為

其中，是系統的拉格朗日量，廣義坐標是時間的函數，和分別為初始時間和終結時間。

假若，作用量的一次變分，作用量為平穩值，則正確地描述這物理系統的真實演化。從這變分運算，可以推導出拉格朗日方程。

2.拉格朗日函數與能量守恆定律的關係

思考拉格朗日函數對於時間的全導數：將拉格朗日方程代入，可以得到定義能量函數為則能量函數與拉格朗日函數有以下含時關係式：假若拉格朗日量顯性地與時間無關，，則能量函數是個常數：。稱這常數為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。

在分析力學里，一個動力系統的拉格朗日量（英語：Lagrangian），又稱為拉格朗日函數，是描述整個物理系統的動力狀態的函數，對於一般經典物理系統，通常定義為動能減去勢能。

在力學繫上只有保守力的作用，則力學系及其運動條件就完全可以用拉格朗日函數表示出來。這裡說的運動條件是指系統所受的主動力和約束。因此，給定了拉氏函數的明顯形式就等於給出了一個確定的力學系。拉氏函數是力學系的特性函數。