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萊布尼茨公式

萊布尼茨提出的導數計演演算法則

萊布尼茨法則,也稱為乘積法則,是數學中關於兩個函數的積的導數的一個計演演算法則。

基本信息


不同於牛頓-萊布尼茨公式,萊布尼茨公式用於對兩個函數的乘積求取其高階導數,
一般的,如果函數與函數在點x處都具有n階導數,那麼此時有
也可記為

利用面積推導


假設
且f和g在x點可導。那麼:
現在,以下的差
是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。
萊布尼茨公式[求導法則中的Leibniz公式]
萊布尼茨公式[求導法則中的Leibniz公式]
這個區域可以分割為兩個矩形,它們面積的和為:
因此,(1)的表達式等於:
如果(5)式中的四個極限都存在,則(4)的表達式等於:
現在:
因為當時,f(x)不變;
因為g在x點可導;
因為f在x點可導;以及
因為g在x點連續(可導的函數一定連續)。
現在可以得出結論,(5)的表達式等於:

推導過程


如果存在函數,且它們在點x處都具有n階導數,那麼顯而易見的,
在x處也具有n階導數,且
至於的n階導數則較為複雜,按照基本求導法則和公式,可以得到:
…………
運用數學歸納法可證
上式便稱為萊布尼茨公式(Leibniz公式)

區別


由於名稱相似,不少人將牛頓-萊布尼茨公式與萊布尼茨公式相混淆,事實上他們是兩個完全不同的公式。
牛頓-萊布尼茨公式是微積分學中的一個重要公式,它把不定積分與定積分相聯繫了起來,也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。其基本形式為
而萊布尼茨公式是導數計算中會使用到的一個公式,它是為了求取兩函數乘積的高階導數而產生的一個公式。
二者存在本質上的區別。

相關人物


戈特弗里德·威廉·萊布尼茨
弗里德·威廉·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646年—1716年),德國哲學家、數學家,和牛頓先後獨立發明了微積分。有人認為,萊布尼茨最大的貢獻不是發明微積分,而是微積分中使用的數學符號,因為牛頓使用的符號普遍認為比萊布尼茨的差。他所涉及的領域及法學、力學、光學、語言學等40多個範疇,被譽為十七世紀的亞里士多德