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- 萊布尼茨提出的導數計演算法則
- 含參變數常義積分中的Leibniz公式
萊布尼茨公式
萊布尼茨提出的導數計演演算法則
萊布尼茨法則,也稱為乘積法則,是數學中關於兩個函數的積的導數的一個計演演算法則。
不同於牛頓-萊布尼茨公式,萊布尼茨公式用於對兩個函數的乘積求取其高階導數,
一般的,如果函數與函數在點x處都具有n階導數,那麼此時有
也可記為
假設
且f和g在x點可導。那麼:
現在,以下的差
是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。
萊布尼茨公式[求導法則中的Leibniz公式]
因此,(1)的表達式等於:
如果(5)式中的四個極限都存在,則(4)的表達式等於:
現在:
因為當時,f(x)不變;
因為g在x點可導;
因為f在x點可導;以及
因為g在x點連續(可導的函數一定連續)。
現在可以得出結論,(5)的表達式等於:
如果存在函數,且它們在點x處都具有n階導數,那麼顯而易見的,
在x處也具有n階導數,且
至於的n階導數則較為複雜,按照基本求導法則和公式,可以得到:
…………
運用數學歸納法可證
上式便稱為萊布尼茨公式(Leibniz公式)
由於名稱相似,不少人將牛頓-萊布尼茨公式與萊布尼茨公式相混淆,事實上他們是兩個完全不同的公式。
而萊布尼茨公式是導數計算中會使用到的一個公式,它是為了求取兩函數乘積的高階導數而產生的一個公式。
二者存在本質上的區別。
戈特弗里德·威廉·萊布尼茨