進位轉換

計數方法

進位轉換是人們利用符號來計數的方法。進位轉換由一組數碼符號和兩個基本因素“基數”與“位權”構成。

基數是指，進位計數制中所採用的數碼（數制中用來表示“量”的符號）的個數。

位權是指，進位制中每一固定位置對應的單位值。

進位轉換本質

我們知道十進位轉換成二進位用短除法，但是為什麼用短除法呢？請往下看。

“數制”只是一套符號系統來表示指稱“量”的多少。我們用“1”這個符號來表示一個這一“量”的概念。自然界的“量”是無窮的，我們不可能為每一個“量”都造一個符號，這樣的系統沒人記得住。所以必須用有限的符號按一定的規律進行排列組合來表示這無限的“量”。符號是有限的，這些符號按照某種規則進行排列組合的個數是無限的。十進位是10個符號的排列組合，二進位是2個符號的排列組合。

在進行進位轉換時有一基本原則：轉換后表達的“量”的多少不能發生改變。二進位中的111個蘋果和十進位中的7個蘋果是一樣多的。

十進位中的數位排列是這樣的……萬千百十個十分百分千分……

R進位中的數位排列是這樣的……R^4R^3R^2R^1R^0R^-1R^-2R^-3……

可以看出相鄰的數位間相差進位的一次方。

以下部分來源：知乎網友

進位這事兒，說到底就是位值原理，即：同一個數字，放在不同的數位上，代表不同大小的“量”。例如：十進位中，百位上的1表示100，十位上的1表示10。

任何進位中，每個數都可以按位權展開成各個數位上的數字乘以對應數位的位權，再相加的形式，如：

十進位的123=1×100+2×10+3×1

十進位的9876=9×1000+8×100+7×10+6×1

問：為啥相應的數位是1000、100、10、1？為啥不是4、3、2、1？

答：十進位，滿十進一，再滿十再進一，因此要想進到第三位，得有10×10；第4位得有10×10×10

這樣我們就知道了：

對10進位，從低位到高位，依次要乘以10^0，10^1,10^2,10^3……，也就是1、10、100、1000

對2進位，從低位到高位，依次要乘以2^0，2^1,2^2,2^3……，也就是1、2、4、8、……

下面我們開始轉換進位（以十進位換成二進位為例）：

原來十進位咱們的數位叫千位、百位、十位……

現在二進位數位變成了八位、四位、二位……

模仿上面十進位按位權展開的方式，把二進位數1011按權展開：1011=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=1×8+0×4+1×2+1×1=8+2+1=11

接下來我們進行十進位往二進位的轉換：

比較小的數，直接通過拆分就可以轉換回去

比如13，我們把數位擺好八位、四位、二位，不能寫十六了，因為一旦“十六”那個數位上的符號是“1”，那就表示有1個16，即便後面數位上的符號全部是“0”，把這個二進位數按權位展開后，在按照十進位的運算規律計算，得到的數也大於13了。那最多就只能包含“八”這個數位。13-8=5，5當中有4，5-4=1

好啦，我們知道13=1*8+1*4+0*2+1*1把“1”、“1”、“0”“1”這幾個符號放到數位上去：

八位、四位、二位、一位

1101

於是十進位數13=二進位數1101

現在你按照書上說的短除法來試試，會發現它和你湊數得到的結果剛好是一樣的，為什麼短除法可以實現進位的轉換呢？為什麼每次要除以進位呢？為什麼要把餘數倒著排列呢？

想要知道其中的道理的話，請仔細品味以下的遞歸原理（不知道遞歸沒關係）：

（1）一個十進位數321的末尾是1，意味著一定是……+1，省略號部分一定是10的倍數，所以一個十進位數末尾是1意味著十進位數除以進位10一定餘1。所以第一次除以10之後的餘數，應該放在十進位的最後一個數位“個位”，也就是說個位上的符號是1。

類比，一個二進位數111（注意，數值不等於上面十進位的111）末尾是1，意味著一定是……+1，前面的省略號部分都是2的倍數。所以一個二進位數末尾是1，意味著它對應的十進位數除以進位2一定餘1。所以第一次除以2之後的餘數，應該放在二進位的最後一個數位“一位”，也就是說一位上的符號是1。

（2）如果一個十進位數321“十位”是2，我們希望把它轉換為（1）的情況。那麼我們把這個十進位數的末尾抹掉，也就是減去“個位”上的1，再除以進位10，得到32。這樣原來“十位”上的“2”就掉到了“個位”上。再把32做（1）的處理。

類比，如果一個二進位數111“二位”是1，我們希望把它轉換為（1）的情況，那麼我們把這個二進位數的末尾抹掉，也就是減去“一位”上的1，再除以進位2，得到11。這樣原來“二位”上的“1”就掉到了“一位”上。再把11做（1）的處理。

總結：其實這個過程就是把各個數位上的符號求出來的過程。

現在你應該可以回答以下問題了：為什麼短除法可以實現進位的轉換呢？為什麼每次要除以進位呢？為什麼要把餘數倒著排列呢？

R進位轉換成十進位就是按權位展開，把展開式放到十進位下，再按照“十進位”的運算規律計算。因為是十進位，所以就允許使用2、3、4、5、6、7、8、9了。所以2的n次方就不用寫成指數，而可以用另外的八個符號來表示了。

十進位--->二進位

對於整數部分，用被除數反覆除以2，除第一次外，每次除以2均取前一次商的整數部分作被除數並依次記下每次的餘數。另外，所得到的商的最後一位餘數是所求二進位數的最高位。

進位轉換

對於小數部分，採用連續乘以基數2，並依次取出的整數部分，直至結果的小數部分為0為止。故該法稱“乘基取整法”。

給你一個十進位，比如：6，如果將它轉換成二進位數呢？

10進位數轉換成二進位數，這是一個連續除以2的過程：

把要轉換的數，除以2，得到商和餘數，

將商繼續除以2，直到商為0。最後將所有餘數倒序排列，得到數就是轉換結果。

聽起來有些糊塗？結合例子來說明。比如要轉換6為二進位數。

“把要轉換的數，除以2，得到商和餘數”。

十轉二示意圖

那麼：要轉換的數是6，6÷2，得到商是3，餘數是0。

“將商繼續除以2,直到商為0……”

現在商是3，還不是0，所以繼續除以2。

那就：3÷2,得到商是1,餘數是1。

“將商繼續除以2，直到商為0……”

現在商是1，還不是0，所以繼續除以2。

那就：1÷2,得到商是0，餘數是1

“將商繼續除以2，直到商為0……最後將所有餘數倒序排列”

好極！現在商已經是0。

我們三次計算依次得到餘數分別是：0、1、1，將所有餘數倒序排列，那就是：110了！

6轉換成二進位，結果是110。

把上面的一段改成用表格來表示，則為：

被除數	計算過程	商	餘數
6	6/2	3
3	3/2	1	1
1	1/2		1

（在計算機中，÷用/來表示）

二進位--->十進位

二進位數轉換為十進位數

二進位數第0位的權值是2的0次方，第1位的權值是2的1次方……

所以，設有一個二進位數：01100100，轉換為10進位為：

下面是豎式：

01100100換算成十進位

第0位0*2=0

第1位0*2=0

第2位1*2=4

第3位0*2=0

第4位0*2=0

第5位1*2=32

第6位1*2=64

第7位0*2=0

公式：第N位2

---------------------------

100

用橫式計算為：

0*2+0*2+1*2+0*2+0*2+1*2+1*2+0*2=100

0乘以多少都是0，所以我們也可以直接跳過值為0的位：

1*2+1*2+1*2=100

十進位--->八進位

10進位數轉換成8進位的方法，和轉換為2進位的方法類似，唯一變化：除數由2變成8。

來看一個例子，如何將十進位數120轉換成八進位數。

用表格表示：

被除數	計算過程	商	餘數
120	120/8	15
15	15/8	1	7
1	1/8		1

120轉換為8進位，結果為：170。

八進位--->十進位

八進位就是逢8進1。

八進位數採用0～7這八數來表達一個數。

八進位數第0位的權值為8的0次方，第1位權值為8的1次方，第2位權值為8的2次方……

所以，設有一個八進位數：1507，轉換為十進位為：

用豎式表示：

1507換算成十進位。

第0位7*8=7

第1位0*8=0

第2位5*8=320

第3位1*8=512

--------------------------

839

同樣，我們也可以用橫式直接計算：

7*8+0*8+5*8+1*8=839

結果是，八進位數1507轉換成十進位數為839

十進位--->十六進位

10進位數轉換成16進位的方法，和轉換為2進位的方法類似，唯一變化：除數由2變成16。

同樣是120，轉換成16進位則為：

被除數	計算過程	商	餘數
120	120/16	7	8
7	7/16		7

120轉換為16進位，結果為：78。

十六進位--->十進位

16進位就是逢16進1，但我們只有0~9這十個數字，所以我們用A，B，C，D，E，F這六個字母來分別表示10，11，12，13，14，15。字母不區分大小寫。

十六進位數的第0位的權值為16的0次方，第1位的權值為16的1次方，第2位的權值為16的2次方……

所以，在第N（N從0開始）位上，如果是是數X（X大於等於0，並且X小於等於15，即：F）表示的大小為X*16的N次方。

假設有一個十六進數2AF5,那麼如何換算成10進位呢？

用豎式計算：

2AF5換算成10進位:

第0位：5*16=5

第1位：F*16=240

第2位：A*16=2560

第3位：2*16=8192

-------------------------------------

10997

直接計算就是：

5*16+F*16+A*16+2*16=10997

(別忘了，在上面的計算中，A表示10，而F表示15)

現在可以看出，所有進位換算成10進位，關鍵在於各自的權值不同。

假設有人問你，十進數1234為什麼是一千二百三十四？你盡可以給他這麼一個算式：

1234=1*10+2*10+3*10+4*10

二進位--->八進位

（11001.101）（二）

整數部分：從后往前每三位一組，缺位處用0填補，然後按十進位方法進行轉化，則有：

001=1

011=3

然後我們將結果按從下往上的順序書寫就是：31，那麼這個31就是二進位11001的八進位形式

八進位--->二進位

（31.5）（八）

整數部分：從后往前每一位按十進位轉化方式轉化為三位二進位數，缺位處用0補充則有：

1---->1---->001

3---->11

然後我們將結果按從下往上的順序書寫就是：11001，那麼這個11001就是八進位31的二進位形式

二進位--->十六進位

二進位和十六進位的互相轉換比較重要。不過這二者的轉換卻不用計算，每個C，C++程序員都能做到看見二進位數，直接就能轉換為十六進位數，反之亦然。

我們也一樣，只要學完這一小節，就能做到。

首先我們來看一個二進位數：1111，它是多少呢？

你可能還要這樣計算：1*2+1*2+1*2+1*2=1*1+1*2+1*4+1*8=15。

然而，由於1111才4位，所以我們必須直接記住它每一位的權值，並且是從高位往低位記，：8、4、2、1。即，最高位的權值為2=8，然後依次是2=4，2=2，2=1。

記住8421，對於任意一個4位的二進位數，我們都可以很快算出它對應的10進位值。

下面列出四位二進位數xxxx所有可能的值（中間略過部分）

僅四位的二進位數	快速計算方法	十進位值	十六進位值
1111	8+4+2+1	15	F
1110	8+4+2+0	14	E
1101	8+4+0+1	13	D
1100	8+4+0+0	12	C
1011	8+0+2+1	11	B
1010	8+0+2+0	10	A
1001	8+0+0+1	9	9
……
0001	0+0+0+1	1	1
0000	0+0+0+0

二進位數要轉換為十六進位，就是以4位一段，分別轉換為十六進位。

如：

二進位數	11111101	10100101	10011011
對應的十六進位數	FD	A5	9B

十六進位--->二進位

反過來，當我們看到FD時，如何迅速將它轉換為二進位數呢？

先轉換F：

看到F，我們需知道它是15（可能你還不熟悉A～F這六個數），然後15如何用8421湊呢？應該是8+4+2+1，所以四位全為1：1111。

接著轉換D：

看到D，知道它是13，13如何用8421湊呢？應該是：8+4+1,即：1101。

所以,FD轉換為二進位數，為：11111101

由於十六進位轉換成二進位相當直接，所以，我們需要將一個十進位數轉換成2進位數時，也可以先轉換成16進位，然後再轉換成2進位。

比如，十進位數1234轉換成二制數，如果要一直除以2，直接得到2進位數，需要計算較多次數。所以我們可以先除以16，得到16進位數:

被除數	計算過程	商	餘數
1234	1234/16	77	2
77	77/16	4	13(D)
4	4/16		4

結果16進位為：0x4D2

然後我們可直接寫出0x4D2的二進位形式：010011010010。

其中對映關係為：

0100--4

1101--D

0010--2

同樣，如果一個二進位數很長，我們需要將它轉換成10進位數時，除了前面學過的方法是，我們還可以先將這個二進位轉換成16進位，然後再轉換為10進位。

下面舉例一個int類型的二進位數：

01101101111001011010111100011011

我們按四位一組轉換為16進位：6DE5AF1B

再轉換為10進位：6*16+D*16+E*16+5*16+A*16+F*16+1*16+B*16=1,843,769,115

十進位--->負進位

下面是將十進位數轉換為負R進位的公式：

N=(dmdm-1...d1d0)-R

=dm*+dm-1*-1+...+d1*+d0*(-R)

15=1*+0*+0*+1*+1*

=10011

負數

負數的進位轉換稍微有些不同。

先把負數寫為其補碼形式（在此不議），然後再根據二進位轉換其它進位的方法進行。

例：要求把-9轉換為八進位形式。則有：

-9的補碼為1111111111110111。從后往前三位一劃，不足三位的加0

111---->7

110---->6

111---->7

001---->1

然後我們將結果按從下往上的順序書寫就是：177767，那麼177767就是十進位數-9的八進位形式。

其實轉化成任意進位都是一樣的。

初學者最容易犯的錯誤！！！！！！！

犯錯：（-617）D=（-1151）O=（-269）H

原因分析：如果是正數的話，上面的思路是正確的，但是由於正數和負數在原碼、反碼、補碼轉換上的差別，所以按照正數的求解思路去對負數進行求解是不對的。

正確的方法是：首先將-617用補碼錶示出來，然後再轉換成八進位和十六進位（補碼）即可。

註：二進位補碼要用16位。

正確答案：：（-617）D=（176627）O=（fd97）H

負數十進位轉換成八進位或十六進位方法

如（-12）10=（　）8=（　）16

第一步：轉換成二進位

1000000000001100

第二步：補碼，取反加一

注意：取反時符號位不變！

1111111111110100

第三步：轉換成八進位是三位一結合：177764（8）

轉換成十六進位是四位一結合：fff4（16）

小數

最近有些朋友提了這樣的問題“0.8的十六進位是多少？”

0.8、0.6、0.2......一些數字在進位之間的轉化過程中確實存在麻煩。

就比如“0.8的十六進位”吧！

無論怎麼乘以16，它的餘數總也乘不盡，總是餘0.8

具體方法如下：

0.8*16=12.8

取每一個結果的整數部分為12既十六進位的C

如果題中要求精確到小數點后3位那結果就是0.CCC

如果題中要求精確到小數點后4位那結果就是0.CCCC

現在OK了。

C++

十進位轉k進位

#include

int main()

{

char a[1000];

int y=0,k,n,x;

char z='A';

scanf("%d%d",&n,&x);

while(n!=0)

{

y++;

a[y]=n%x;

n=n/x;

if(a[y]>9) a[y]+=z-10;

else a[y]+='0';

}

for(int i=y;i>0;i--)

printf("%c",a[i]);

return 0;

}

m進位轉10進位

#include

char a[10000];

int main()

{

int n,m;

int f=0;

scanf("%s%d",a,&m);

for(int i=0;i

{

f*=m;

if (a[i]=='A'||a[i]=='B'||a[i]=='C'||a[i]=='D'||a[i]=='E'||a[i]=='F')

f+=(a[i]-'A'+10);

else

f+=(a[i]-'0');

}

printf("%d",f);

return 0;

}

註：用C語言的格式化輸入輸出可以快速轉換10進位，8進位和16進位。例子：10進位轉16進位：

#include

int main()

{

int a;

scanf("%d",&a);

printf("%x",a);

return 0;

}

C語言代碼

編輯語音

#include

int main()

{

long n,m,r;

while(scanf("%ld%ld",&n,&r)!=EOF)

{

if(abs(r)>1&&!(n<0&&r>0))

{

longresult[100];

long*p=result;

printf("%ld=",n);

if(n!=0)

{

while(n!=0)

{

m=n/r;*p=n-m*r;

if(*p<0&&r<0)

{

*p=*p+abs(r);m++;

}

p++;n=m;

}

for(m=p-result-1;m>=0;m--)

{

if(result[m]>9)

printf("%c",55+result[m]);

else

printf("%d",result[m]);

}

elseprintf("0");

printf("(base%d)\n",r);

}

return0;

}

#include"stdafx.h"

#include

intx[100];

intjzzh(inty,intml)

{

inti,j;

i=ml;

x[0]=0;

for(inta=1;;a++)

{

if(i!=0)

{

x[a]=i%y;

x[0]++;

}

elsebreak;

i=i/y;

}

returnx[0];

}

intmain(intargc,char*argv[])

{

printf("Hello,world\n");

longinty,ml;

longinta;

printf("請輸入需要轉換至進位數：");

scanf("%d",&y);

printf("請輸入數字：");

scanf("%d",&ml);

jzzh(y,ml);

for(a=x[0];a>=1;a--)

printf("%d",x[a]);

printf("\n");

return0;

}

Java代碼

Java代碼實現十進位分別轉換為十六，二，八進位。

進位轉換

計數方法

進位轉換本質

負數

小數

C++

C語言代碼

Java代碼

基本信息