進位轉換

計數方法

進位轉換是人們利用符號來計數的方法。進位轉換由一組數碼符號和兩個基本因素“基數”與“位權”構成。

基數是指,進位計數制中所採用的數碼(數制中用來表示“量”的符號)的個數。

位權是指,進位制中每一固定位置對應的單位值。

進位轉換本質


我們知道十進位轉換成二進位短除法,但是為什麼用短除法呢?請往下看。
“數制”只是一套符號系統來表示指稱“量”的多少。我們用“1”這個符號來表示一個這一“量”的概念。自然界的“量”是無窮的,我們不可能為每一個“量”都造一個符號,這樣的系統沒人記得住。所以必須用有限的符號按一定的規律進行排列組合來表示這無限的“量”。符號是有限的,這些符號按照某種規則進行排列組合的個數是無限的。十進位是10個符號的排列組合,二進位是2個符號的排列組合。
在進行進位轉換時有一基本原則:轉換后表達的“量”的多少不能發生改變。二進位中的111個蘋果和十進位中的7個蘋果是一樣多的。
十進位中的數位排列是這樣的……萬千百十個十分百分千分……
R進位中的數位排列是這樣的……R^4R^3R^2R^1R^0R^-1R^-2R^-3……
可以看出相鄰的數位間相差進位的一次方。
以下部分來源:知乎網友
進位這事兒,說到底就是位值原理,即:同一個數字,放在不同的數位上,代表不同大小的“量”。例如:十進位中,百位上的1表示100,十位上的1表示10。
任何進位中,每個數都可以按位權展開成各個數位上的數字乘以對應數位的位權,再相加的形式,如:
十進位的123=1×100+2×10+3×1
十進位的9876=9×1000+8×100+7×10+6×1
問:為啥相應的數位是1000、100、10、1?為啥不是4、3、2、1?
答:十進位,滿十進一,再滿十再進一,因此要想進到第三位,得有10×10;第4位得有10×10×10
這樣我們就知道了:
對10進位,從低位到高位,依次要乘以10^0,10^1,10^2,10^3……,也就是1、10、100、1000
對2進位,從低位到高位,依次要乘以2^0,2^1,2^2,2^3……,也就是1、2、4、8、……
下面我們開始轉換進位(以十進位換成二進位為例):
原來十進位咱們的數位叫千位、百位、十位……
現在二進位數位變成了八位、四位、二位……
模仿上面十進位按位權展開的方式,把二進位數1011按權展開:1011=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=1×8+0×4+1×2+1×1=8+2+1=11
接下來我們進行十進位往二進位的轉換:
比較小的數,直接通過拆分就可以轉換回去
比如13,我們把數位擺好八位、四位、二位,不能寫十六了,因為一旦“十六”那個數位上的符號是“1”,那就表示有1個16,即便後面數位上的符號全部是“0”,把這個二進位數按權位展開后,在按照十進位的運算規律計算,得到的數也大於13了。那最多就只能包含“八”這個數位。13-8=5,5當中有4,5-4=1
好啦,我們知道13=1*8+1*4+0*2+1*1把“1”、“1”、“0”“1”這幾個符號放到數位上去:
八位、四位、二位、一位
1101
於是十進位數13=二進位數1101
現在你按照書上說的短除法來試試,會發現它和你湊數得到的結果剛好是一樣的,為什麼短除法可以實現進位的轉換呢?為什麼每次要除以進位呢?為什麼要把餘數倒著排列呢?
想要知道其中的道理的話,請仔細品味以下的遞歸原理(不知道遞歸沒關係):
(1)一個十進位數321的末尾是1,意味著一定是……+1,省略號部分一定是10的倍數,所以一個十進位數末尾是1意味著十進位數除以進位10一定餘1。所以第一次除以10之後的餘數,應該放在十進位的最後一個數位“個位”,也就是說個位上的符號是1。
類比,一個二進位數111(注意,數值不等於上面十進位的111)末尾是1,意味著一定是……+1,前面的省略號部分都是2的倍數。所以一個二進位數末尾是1,意味著它對應的十進位數除以進位2一定餘1。所以第一次除以2之後的餘數,應該放在二進位的最後一個數位“一位”,也就是說一位上的符號是1。
(2)如果一個十進位數321“十位”是2,我們希望把它轉換為(1)的情況。那麼我們把這個十進位數的末尾抹掉,也就是減去“個位”上的1,再除以進位10,得到32。這樣原來“十位”上的“2”就掉到了“個位”上。再把32做(1)的處理。
類比,如果一個二進位數111“二位”是1,我們希望把它轉換為(1)的情況,那麼我們把這個二進位數的末尾抹掉,也就是減去“一位”上的1,再除以進位2,得到11。這樣原來“二位”上的“1”就掉到了“一位”上。再把11做(1)的處理。
總結:其實這個過程就是把各個數位上的符號求出來的過程。
現在你應該可以回答以下問題了:為什麼短除法可以實現進位的轉換呢?為什麼每次要除以進位呢?為什麼要把餘數倒著排列呢?
R進位轉換成十進位就是按權位展開,把展開式放到十進位下,再按照“十進位”的運算規律計算。因為是十進位,所以就允許使用2、3、4、5、6、7、8、9了。所以2的n次方就不用寫成指數,而可以用另外的八個符號來表示了。
十進位--->二進位
對於整數部分,用被除數反覆除以2,除第一次外,每次除以2均取前一次商的整數部分作被除數並依次記下每次的餘數。另外,所得到的商的最後一位餘數是所求二進位數的最高位。
進位轉換
進位轉換
對於小數部分,採用連續乘以基數2,並依次取出的整數部分,直至結果的小數部分為0為止。故該法稱“乘基取整法”。
給你一個十進位,比如:6,如果將它轉換成二進位數呢?
10進位數轉換成二進位數,這是一個連續除以2的過程:
把要轉換的數,除以2,得到商和餘數,
將商繼續除以2,直到商為0。最後將所有餘數倒序排列,得到數就是轉換結果。
聽起來有些糊塗?結合例子來說明。比如要轉換6為二進位數。
“把要轉換的數,除以2,得到商和餘數”。
十轉二示意圖
十轉二示意圖
那麼:要轉換的數是6,6÷2,得到商是3,餘數是0。
“將商繼續除以2,直到商為0……”
現在商是3,還不是0,所以繼續除以2。
那就:3÷2,得到商是1,餘數是1。
“將商繼續除以2,直到商為0……”
現在商是1,還不是0,所以繼續除以2。
那就:1÷2,得到商是0,餘數是1
“將商繼續除以2,直到商為0……最後將所有餘數倒序排列”
好極!現在商已經是0。
我們三次計算依次得到餘數分別是:0、1、1,將所有餘數倒序排列,那就是:110了!
6轉換成二進位,結果是110。
把上面的一段改成用表格來表示,則為:
被除數計算過程餘數
66/23
33/211
11/21
(在計算機中,÷用/來表示)
二進位--->十進位
二進位數轉換為十進位數
二進位數第0位的權值是2的0次方,第1位的權值是2的1次方……
所以,設有一個二進位數:01100100,轉換為10進位為:
下面是豎式:
01100100換算成十進位
第0位0*2=0
第1位0*2=0
第2位1*2=4
第3位0*2=0
第4位0*2=0
第5位1*2=32
第6位1*2=64
第7位0*2=0
公式:第N位2
---------------------------
100
用橫式計算為:
0*2+0*2+1*2+0*2+0*2+1*2+1*2+0*2=100
0乘以多少都是0,所以我們也可以直接跳過值為0的位:
1*2+1*2+1*2=100
十進位--->八進位
10進位數轉換成8進位的方法,和轉換為2進位的方法類似,唯一變化:除數由2變成8。
來看一個例子,如何將十進位數120轉換成八進位數。
用表格表示:
被除數計算過程餘數
120120/815
1515/817
11/81
120轉換為8進位,結果為:170。
八進位--->十進位
八進位就是逢8進1。
八進位數採用0~7這八數來表達一個數。
八進位數第0位的權值為8的0次方,第1位權值為8的1次方,第2位權值為8的2次方……
所以,設有一個八進位數:1507,轉換為十進位為:
用豎式表示:
1507換算成十進位。
第0位7*8=7
第1位0*8=0
第2位5*8=320
第3位1*8=512
--------------------------
839
同樣,我們也可以用橫式直接計算:
7*8+0*8+5*8+1*8=839
結果是,八進位數1507轉換成十進位數為839
十進位--->十六進位
10進位數轉換成16進位的方法,和轉換為2進位的方法類似,唯一變化:除數由2變成16。
同樣是120,轉換成16進位則為:
被除數計算過程餘數
120120/1678
77/167
120轉換為16進位,結果為:78。
十六進位--->十進位
16進位就是逢16進1,但我們只有0~9這十個數字,所以我們用A,B,C,D,E,F這六個字母來分別表示10,11,12,13,14,15。字母不區分大小寫。
十六進位數的第0位的權值為16的0次方,第1位的權值為16的1次方,第2位的權值為16的2次方……
所以,在第N(N從0開始)位上,如果是是數X(X大於等於0,並且X小於等於15,即:F)表示的大小為X*16的N次方。
假設有一個十六進數2AF5,那麼如何換算成10進位呢?
用豎式計算:
2AF5換算成10進位:
第0位:5*16=5
第1位:F*16=240
第2位:A*16=2560
第3位:2*16=8192
-------------------------------------
10997
直接計算就是:
5*16+F*16+A*16+2*16=10997
(別忘了,在上面的計算中,A表示10,而F表示15)
現在可以看出,所有進位換算成10進位,關鍵在於各自的權值不同。
假設有人問你,十進數1234為什麼是一千二百三十四?你盡可以給他這麼一個算式:
1234=1*10+2*10+3*10+4*10
二進位--->八進位
(11001.101)(二)
整數部分:從后往前每三位一組,缺位處用0填補,然後按十進位方法進行轉化,則有:
001=1
011=3
然後我們將結果按從下往上的順序書寫就是:31,那麼這個31就是二進位11001的八進位形式
八進位--->二進位
(31.5)(八)
整數部分:從后往前每一位按十進位轉化方式轉化為三位二進位數,缺位處用0補充則有:
1---->1---->001
3---->11
然後我們將結果按從下往上的順序書寫就是:11001,那麼這個11001就是八進位31的二進位形式
二進位--->十六進位
二進位和十六進位的互相轉換比較重要。不過這二者的轉換卻不用計算,每個C,C++程序員都能做到看見二進位數,直接就能轉換為十六進位數,反之亦然。
我們也一樣,只要學完這一小節,就能做到。
首先我們來看一個二進位數:1111,它是多少呢?
你可能還要這樣計算:1*2+1*2+1*2+1*2=1*1+1*2+1*4+1*8=15。
然而,由於1111才4位,所以我們必須直接記住它每一位的權值,並且是從高位往低位記,:8、4、2、1。即,最高位的權值為2=8,然後依次是2=4,2=2,2=1。
記住8421,對於任意一個4位的二進位數,我們都可以很快算出它對應的10進位值。
下面列出四位二進位數xxxx所有可能的值(中間略過部分)
僅四位的二進位數快速計算方法十進位值十六進位值
11118+4+2+115F
11108+4+2+014E
11018+4+0+113D
11008+4+0+012C
10118+0+2+111B
10108+0+2+010A
10018+0+0+199
……
00010+0+0+111
00000+0+0+0
二進位數要轉換為十六進位,就是以4位一段,分別轉換為十六進位。
如:
二進位數111111011010010110011011
對應的十六進位數FDA59B
十六進位--->二進位
反過來,當我們看到FD時,如何迅速將它轉換為二進位數呢?
先轉換F:
看到F,我們需知道它是15(可能你還不熟悉A~F這六個數),然後15如何用8421湊呢?應該是8+4+2+1,所以四位全為1:1111。
接著轉換D:
看到D,知道它是13,13如何用8421湊呢?應該是:8+4+1,即:1101。
所以,FD轉換為二進位數,為:11111101
由於十六進位轉換成二進位相當直接,所以,我們需要將一個十進位數轉換成2進位數時,也可以先轉換成16進位,然後再轉換成2進位。
比如,十進位數1234轉換成二制數,如果要一直除以2,直接得到2進位數,需要計算較多次數。所以我們可以先除以16,得到16進位數:
被除數計算過程餘數
12341234/16772
7777/16413(D)
44/164
結果16進位為:0x4D2
然後我們可直接寫出0x4D2的二進位形式:010011010010。
其中對映關係為:
0100--4
1101--D
0010--2
同樣,如果一個二進位數很長,我們需要將它轉換成10進位數時,除了前面學過的方法是,我們還可以先將這個二進位轉換成16進位,然後再轉換為10進位。
下面舉例一個int類型的二進位數:
01101101111001011010111100011011
我們按四位一組轉換為16進位:6DE5AF1B
再轉換為10進位:6*16+D*16+E*16+5*16+A*16+F*16+1*16+B*16=1,843,769,115
十進位--->負進位
下面是將十進位數轉換為負R進位的公式:
N=(dmdm-1...d1d0)-R
=dm*+dm-1*-1+...+d1*+d0*(-R)
15=1*+0*+0*+1*+1*
=10011

負數


負數的進位轉換稍微有些不同。
先把負數寫為其補碼形式(在此不議),然後再根據二進位轉換其它進位的方法進行。
例:要求把-9轉換為八進位形式。則有:
-9的補碼為1111111111110111。從后往前三位一劃,不足三位的加0
111---->7
110---->6
111---->7
111---->7
111---->7
001---->1
然後我們將結果按從下往上的順序書寫就是:177767,那麼177767就是十進位數-9的八進位形式。
其實轉化成任意進位都是一樣的。
初學者最容易犯的錯誤!!!!!!!
犯錯:(-617)D=(-1151)O=(-269)H
原因分析:如果是正數的話,上面的思路是正確的,但是由於正數和負數在原碼、反碼、補碼轉換上的差別,所以按照正數的求解思路去對負數進行求解是不對的。
正確的方法是:首先將-617用補碼錶示出來,然後再轉換成八進位和十六進位(補碼)即可。
註:二進位補碼要用16位。
正確答案::(-617)D=(176627)O=(fd97)H
負數十進位轉換成八進位或十六進位方法
如(-12)10=( )8=( )16
第一步:轉換成二進位
1000000000001100
第二步:補碼,取反加一
注意:取反時符號位不變!
1111111111110100
第三步:轉換成八進位是三位一結合:177764(8)
轉換成十六進位是四位一結合:fff4(16)

小數


最近有些朋友提了這樣的問題“0.8的十六進位是多少?”
0.8、0.6、0.2......一些數字在進位之間的轉化過程中確實存在麻煩。
就比如“0.8的十六進位”吧!
無論怎麼乘以16,它的餘數總也乘不盡,總是餘0.8
具體方法如下:
0.8*16=12.8
0.8*16=12.8
取每一個結果的整數部分為12既十六進位的C
如果題中要求精確到小數點后3位那結果就是0.CCC
如果題中要求精確到小數點后4位那結果就是0.CCCC
現在OK了。

C++


十進位轉k進位
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#include
int main()
{
char a[1000];
int y=0,k,n,x;
char z='A';
scanf("%d%d",&n,&x);
while(n!=0)
{
y++;
a[y]=n%x;
n=n/x;
if(a[y]>9) a[y]+=z-10;
else a[y]+='0';
}
for(int i=y;i>0;i--)
printf("%c",a[i]);
return 0;
}
m進位轉10進位
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#include
#include
char a[10000];
int main()
{
int n,m;
int f=0;
scanf("%s%d",a,&m);
for(int i=0;i
{
f*=m;
if (a[i]=='A'||a[i]=='B'||a[i]=='C'||a[i]=='D'||a[i]=='E'||a[i]=='F')
f+=(a[i]-'A'+10);
else
f+=(a[i]-'0');
}
printf("%d",f);
return 0;
}
註:用C語言的格式化輸入輸出可以快速轉換10進位,8進位和16進位。例子:10進位轉16進位:
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#include 
 
int main()
{
int a;
scanf("%d",&a);
printf("%x",a);
return 0;
}

C語言代碼

編輯 語音
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#include
#include
int main()
{
long n,m,r;
while(scanf("%ld%ld",&n,&r)!=EOF)
{
if(abs(r)>1&&!(n<0&&r>0))
{
longresult[100];
long*p=result;
printf("%ld=",n);
if(n!=0)
{
while(n!=0)
{
m=n/r;*p=n-m*r;
if(*p<0&&r<0)
{
*p=*p+abs(r);m++;
}
p++;n=m;
}
for(m=p-result-1;m>=0;m--)
{
if(result[m]>9)
printf("%c",55+result[m]);
else
printf("%d",result[m]);
}
}
elseprintf("0");
printf("(base%d)\n",r);
}
}
return0;
}
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#include"stdafx.h"
#include
intx[100];
intjzzh(inty,intml)
{
inti,j;
i=ml;
x[0]=0;
for(inta=1;;a++)
{
if(i!=0)
{
x[a]=i%y;
x[0]++;
}
elsebreak;
i=i/y;
}
returnx[0];
}
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intmain(intargc,char*argv[])
{
printf("Hello,world\n");
longinty,ml;
longinta;
printf("請輸入需要轉換至進位數:");
scanf("%d",&y);
printf("請輸入數字:");
scanf("%d",&ml);
jzzh(y,ml);
for(a=x[0];a>=1;a--)
printf("%d",x[a]);
printf("\n");
return0;
}

Java代碼


Java代碼實現十進位分別轉換為十六,二,八進位。
Java代碼
Java代碼
核心思想就是餘數定理。
publicclassChange{staticvoidcha_16(intn)
{if(n>=16)cha_16(n/16);
if(n%16<10)System.out.print(n%16);
elseSystem.out.print((char)(n%16+55));}
staticvoidcha_2(intn)
{if(n>=2)cha_2(n/2);
System.out.print(n%2);}
staticvoidcha_8(intn)
{if(n>=8){cha_8(n/8);
System.out.print(n%8);}
elseSystem.out.print(n);}
publicstaticvoidmain(String[]args)
{inta=27,b=9,c=19;System.out.print("十進位數"+a+"=>十六進位輸出:");
cha_16(a);System.out.println();
System.out.print("十進位數"+b+"=>二進位輸出:");
cha_2(b);System.out.println();
System.out.print("十進位數"+c+"=>八進位輸出:");
cha_8(c);}}